13. Trouver la raison et le 1er terme à partir de 2 termes d'une suite

Introduction

Allez, on est parti pour le premier exercice de type contrôle. On vous donne deux termes d'une suite et vous devez être capable de déterminer la raison et le premier terme. La technique est toujours la même : on va se débrouiller pour arriver à un système de deux équations à deux inconnus. Soyez attentifs, parce que c'est exactement ce que vous allez avoir au contrôle.

Application de la formule des suites arithmétiques

Pour cela, on va utiliser la formule des suites arithmétiques qui dit que \(u_n = u_0 + n \times r\), où \(r\) est la raison. On va appliquer cette formule ici et ici. Donc ici, ça donne \(u_2 = u_0 + 2 \times r\). Sauf que \(u_2\) on sait qu'il vaut 4. De la même manière, ici on va avoir \(u_4 = u_0 + 4 \times r\). Et \(u_4\), d'après l'énoncé, on sait qu'il vaut 8. Maintenant, regardez ce qu'on a fait : on a une première équation, une deuxième équation, une première inconnue, une deuxième inconnue. Donc on a un système de deux équations à deux inconnus, et ça c'est très simple à résoudre.

Résolution du système d'équations

Comment pourrait-on faire par exemple ? Eh bien, on va isoler \(u_0\) ici. Donc on va prendre la première ligne et on va mettre \(u_0\) tout seul d'un côté. Donc je vais passer le \(+2r\) de l'autre côté, donc j'ai \(4 - 2r = u_0\). Maintenant que j'ai \(u_0\), je vais pouvoir le remplacer ici. Donc ça veut dire que \(8 = u_0 + 4r\), donc \(8 = 4 - 2r + 4r\). Donc \(8 = 4 + 2r\). Je passe mon 4 de l'autre côté, ça me fait \(8 - 4 = 2r\), et finalement en divisant tout par 2, \(4/2 = 2 = r\). J'ai ma raison qui vaut 2, il n'y a rien de plus simple. Une fois que j'ai trouvé une des deux inconnues, je peux la remplacer n'importe où, par exemple ici : \(4 = u_0 + 2 \times 2\). Ça se simplifie parce que j'ai \(4 = 4\), et donc j'ai \(u_0 = 0\). Donc on a la raison, on a le premier terme, c'est terminé.

Application de la formule des suites géométriques

Pour une suite géométrique, on ne va pas écrire \(u_n = u_0 + n \times r\), on va écrire \(u_n = u_0 \times q^n\), où \(q\) est la raison. On l'applique ici, donc \(u_2 = u_0 \times q^2\). Sauf que \(u_2\) vaut 12. Et de la même manière, \(u_4 = u_0 \times q^4\). Sauf que \(u_4\) vaut 48. J'ai un système avec deux équations et deux inconnus que je peux résoudre exactement de la même manière.

Résolution du système d'équations

Je vais prendre la 2ème ligne / la première, donc je prends \(48/12 = u_0 \times q^4 / u_0 \times q^2\). Les \(u_0\) se simplifient, \(48/12\) me fait 4, et \(q^4 / q^2\) me fait \(q^2\). Donc \(q^2 = 4\), donc \(q = 2\). J'ai ma raison, je la remplace dans \(12 = u_0 \times 2^2\), donc \(12 = u_0 \times 4\), et ça me donne directement \(u_0 = 12/4 = 3\). J'ai ma raison, j'ai mon premier terme, c'est très simple. Il faut juste s'entraîner deux fois pour savoir le faire. C'est en gros ce que vous aurez trois fois au contrôle. À vous de jouer, on vous en a mis un sous forme de musique.