Ce sujet de contrôle de mathématiques pour le niveau Première STI2D est centré sur les chapitres des suites arithmétiques et géométriques et des généralités sur les suites. L'évaluation est conçue comme un problème complet de modélisation, où l'élève doit analyser l'évolution du nombre d'adhérents d'un club sportif selon deux modèles différents : un modèle linéaire (suite arithmétique) et un modèle à croissance en pourcentage (suite géométrique). Ce contrôle corrigé est une excellente ressource pour s'entraîner à la modélisation mathématique et à la manipulation des suites numériques.

Partie A : Le modèle linéaire

Cette première partie introduit une croissance constante du nombre d'adhérents, caractéristique d'une suite arithmétique. La situation initiale est un club avec 420 membres en 2024, avec un gain de 30 nouveaux membres chaque année.

• Question 1 : Il est demandé de calculer les premiers termes de la suite, \(a_1\) et \(a_2\), pour initialiser l'étude.
• Question 2 : L'élève doit exprimer la relation de récurrence \(a_{n+1} = a_n + 30\), identifier la nature arithmétique de la suite et préciser sa raison \(r = 30\).
• Question 3 : Il s'agit de déterminer la forme explicite de la suite : \(a_n = a_0 + n \times r\), soit \(a_n = 420 + 30n\).
• Question 4 : Une application directe de la formule explicite est demandée pour calculer le nombre d'adhérents en 2030, ce qui correspond au terme \(a_6\).
• Question 5 : Cette question teste la capacité à utiliser la suite pour résoudre un problème de seuil. Il faut déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \(a_n > 700\), ce qui se traduit par la résolution de l'inéquation \(420 + 30n > 700\).

Partie B : Le modèle en pourcentage

La deuxième partie propose un modèle de croissance exponentielle, basé sur une augmentation annuelle de 6%. Cette situation se modélise par une suite géométrique.

• Question 1 : Une question préliminaire essentielle consiste à justifier que le coefficient multiplicateur associé à une hausse de 6% est de 1,06.
• Question 2 : Comme dans la partie A, il faut calculer les premiers termes \(b_1\) et \(b_2\), en appliquant le pourcentage d'augmentation.
• Question 3 : L'objectif est d'identifier la nature géométrique de la suite, de donner sa raison \(q = 1,06\), puis de trouver son expression explicite \(b_n = b_0 \times q^n\), soit \(b_n = 420 \times 1,06^n\).
• Question 4 : L'étude du sens de variation de la suite est requise. Puisque le premier terme est positif et la raison supérieure à 1, la suite est croissante.
• Question 5 : Il s'agit d'une application numérique pour prévoir le nombre d'adhérents en 2030, en calculant \(b_6\).
• Question 6 : Similaire à la partie A, il faut déterminer à partir de quelle année le nombre d'adhérents dépassera 700, en résolvant \(420 \times 1,06^n > 700\), ce qui nécessite l'usage de la calculatrice (fonction tableur ou résolution par tâtonnement).

Partie C : Comparer les deux modèles

Cette dernière partie vise à comparer les deux modèles étudiés et à introduire une approche algorithmique. Elle évalue la capacité de l'élève à analyser et interpréter des résultats mathématiques.

• Question 1 : L'élève doit remplir un tableau de valeurs comparatif pour les suites \(a_n\) et \(b_n\) sur les 8 premières années.
• Question 2 : En utilisant le tableau, il faut déterminer l'année à partir de laquelle le modèle en pourcentage devient plus avantageux que le modèle linéaire.
• Question 3 : Un programme en langage Python est présenté. L'élève doit le compléter pour qu'il détermine automatiquement l'année de basculement trouvée à la question précédente. Il s'agit de retranscrire les formules de récurrence des deux suites dans la boucle `while`.
• Question 4 : Une question d'analyse et d'argumentation. Il faut juger de la pertinence d'une affirmation sur la similarité des deux modèles à court terme, en s'appuyant à la fois sur le tableau de valeurs et sur la nature fondamentalement différente des croissances linéaire et exponentielle.

Ce sujet de mathématiques pour Première STI2D est donc un excellent exercice de synthèse sur les suites, mêlant calculs, modélisation, résolution de problèmes et algorithmique.