Ce document présente un sujet de contrôle de mathématiques pour le niveau Première STI2D, centré sur les chapitres de la dérivation locale et globale, ainsi que les automatismes. C'est une excellente ressource pour s'entraîner et réviser les concepts clés liés à l'étude de fonctions. Ce contrôle corrigé permet de tester sa maîtrise du calcul de dérivées, de la construction de tableaux de variation, de l'interprétation graphique et de la résolution de problèmes d'optimisation. Les mots clés associés à ce sujet sont : sujet de maths, contrôle corrigé, Première STI2D, dérivation, fonction dérivée, étude de fonction, tableau de variation, extremum, tangente, optimisation.

Exercice 1 : Automatismes (QCM)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) conçu pour évaluer rapidement des compétences de base et des connaissances fondamentales sur les fonctions et la dérivation. Chaque question propose une seule réponse correcte.

• Question 1 : Il s'agit de calculer la fonction dérivée de la fonction polynomiale \(f(x) = 5x^2 - 3x\). La compétence requise est l'application des formules de dérivation des fonctions puissances \((x^n)' = nx^{n-1}\) et de la linéarité de la dérivation. La bonne réponse est \(f'(x) = 10x - 3\).
• Question 2 : Cette question teste la compréhension de l'interprétation géométrique du nombre dérivé. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse 3 est par définition le nombre dérivé \(f'(3)\).
• Question 3 : On demande la dérivée d'une fonction constante, \(f(x) = 7\). Il faut savoir que la dérivée de toute fonction constante est nulle, donc \(f'(x) = 0\).
• Question 4 : Cette question porte sur le sens de variation d'une fonction de référence, la fonction carré \(x \mapsto x^2\). Il est essentiel de connaître que cette fonction est décroissante sur l'intervalle \(]-\infty; 0]\) et croissante sur \([0; +\infty[\).
• Question 5 : Il s'agit d'une question de calcul algébrique pur : développer l'expression \((2x - 3)^2\) en utilisant l'identité remarquable \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\). Le résultat est \(4x^2 - 12x + 9\).

Exercice 2 : Variations d'une fonction de degré 3

Cet exercice propose une étude de fonction complète pour le polynôme du troisième degré \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x\). L'objectif est d'utiliser l'outil de la dérivation pour déterminer le sens de variation et les extremums de la fonction.

• Question 1 : Un calcul simple d'images est demandé pour \(f(0)\) et \(f(3)\), ce qui permet de trouver des points de passage de la courbe.
• Question 2 : Il faut calculer la fonction dérivée \(f'(x)\). En appliquant les règles de dérivation sur le polynôme, on obtient \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9\).
• Question 3 : On demande de vérifier une forme factorisée de la dérivée : \(f'(x) = 3(x - 1)(x - 3)\). Cela peut se faire en développant la forme factorisée ou en factorisant le trinôme obtenu à la question précédente.
• Question 4 : C'est le cœur de l'analyse. Il faut étudier le signe du polynôme du second degré \(f'(x)\). Connaissant ses racines (1 et 3), on peut dresser son tableau de signes. Le signe de la dérivée donne ensuite les variations de la fonction \(f\) : positive pour croissante, négative pour décroissante.
• Question 5 : La dernière étape est de conclure à partir du tableau de variations. Les points où la dérivée s'annule en changeant de signe correspondent à des extremums locaux. On identifie ainsi un maximum local et un minimum local, et on calcule leurs coordonnées.

Exercice 3 : Lire la courbe de la dérivée

Cet exercice est plus conceptuel. Il ne donne pas la courbe de la fonction \(f\), mais celle de sa fonction dérivée \(f'\). Il faut en déduire des informations sur \(f\), ce qui demande une bonne compréhension du lien entre une fonction et sa dérivée.

• Question 1 : Une compétence de lecture graphique est nécessaire pour trouver l'image de 0 par \(f'\), soit \(f'(0)\), et pour identifier les abscisses \(x\) où la courbe de \(f'\) coupe l'axe des abscisses, c'est-à-dire où \(f'(x) = 0\).
• Question 2 : On doit interpréter géométriquement les zéros de la dérivée. Si \(f'(a) = 0\), cela signifie que la tangente à la courbe de \(f\) (et non \(f'\)) au point d'abscisse \(a\) est horizontale.
• Question 3 : Il faut dresser le tableau de signes de \(f'\) sur l'intervalle \([-4; 4]\) en se basant sur la position de sa courbe par rapport à l'axe des abscisses (au-dessus pour \(f' > 0\), en-dessous pour \(f' < 0\)).
• Question 4 : En utilisant la règle fondamentale (si \(f' > 0\), \(f\) est croissante ; si \(f' < 0\), \(f\) est décroissante), on construit le tableau de variations complet de \(f\), en y ajoutant les valeurs données \(f(-2)\) et \(f(2)\).
• Question 5 : Le tableau de variations permet d'identifier sans ambiguïté les extremums locaux de \(f\), leur valeur et la position où ils sont atteints.
• Question 6 : Cette question vise à déconstruire une erreur fréquente. Le fait que la courbe de \(f'\) soit sous l'axe des abscisses sur \(]-2; 2[\) signifie que \(f'(x)\) est négative sur cet intervalle, et donc que la fonction \(f\) est décroissante, mais cela ne donne aucune information directe sur le signe de \(f(x)\).

Exercice 4 : Le bénéfice d'un atelier

Ce dernier exercice est un problème concret d'optimisation. Le bénéfice d'un atelier est modélisé par une fonction polynomiale du troisième degré \(B(x) = -x^3 + 9x^2 - 15x\). L'objectif est de déterminer comment maximiser ce bénéfice.

• Question 1 : On commence par un calcul simple, \(B(1)\), pour se familiariser avec la fonction et interpréter le résultat dans le contexte (bénéfice ou perte pour 100 pièces).
• Question 2 : Comme dans l'exercice 2, il faut calculer la dérivée \(B'(x)\) et vérifier sa forme factorisée, qui facilitera l'étude de signe.
• Question 3 : On étudie le signe de la dérivée \(B'(x)\) sur l'intervalle de définition du problème \([0; 6]\) pour dresser le tableau de variations de la fonction bénéfice \(B\).
• Question 4 : Le tableau de variations révèle la valeur de \(x\) (nombre de centaines de pièces) pour laquelle le bénéfice est maximal. On calcule ensuite ce bénéfice maximal. C'est l'application directe de l'étude de fonction à un problème d'optimisation.
• Question 5 : En calculant \(B(2)\) et \(B(3)\), on observe un changement de signe, ce qui permet d'encadrer la production à partir de laquelle l'atelier devient rentable. C'est une application intuitive du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.