Ce sujet de contrôle corrigé de mathématiques pour la Terminale Spécialité est une excellente ressource pour réviser deux chapitres fondamentaux du programme : la loi binomiale et l'étude de fonctions, incluant la dérivation, la convexité et les exponentielles. Conçu pour une durée de 2 heures, ce devoir type bac blanc vous permettra de tester vos connaissances et votre rigueur dans des conditions d'examen.

Exercice 1 : Maîtrise de la Loi Binomiale

Cet exercice est une application classique et complète de la loi binomiale dans un contexte de contrôle qualité industriel.

• Question 1 : Il s'agit d'identifier une situation se modélisant par une loi binomiale. On définit une variable aléatoire \(X\) qui suit une loi \(\mathcal{B}(n, p)\) avec \(n=185\) (nombre d'épreuves) et \(p=0,017\) (probabilité de succès, ici une diode défectueuse). Vous devrez ensuite calculer et interpréter son espérance \(E(X) = np\) et son écart-type \(\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}\).
• Question 2 : Cette partie est consacrée au calcul de probabilités. Il est demandé de calculer :
  • La probabilité d'un événement précis, \(P(X=4)\), en utilisant la formule du cours : \(P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\).
  • Des probabilités cumulées comme "au plus 6" (\(P(X \le 6)\)) ou "plus de 3" (\(P(X > 3) = 1 - P(X \le 3)\)).
  • Des probabilités d'intervalles et des probabilités conditionnelles, qui demandent une bonne traduction de l'énoncé en langage mathématique.
• Question 3 : Un excellent test de compréhension. Une nouvelle épreuve de Bernoulli est définie ("la boîte est qualifiée"), dont la probabilité de succès est calculée à partir des questions précédentes. On applique une seconde fois la loi binomiale pour trouver la probabilité d'avoir au moins 9 boîtes qualifiées sur 10.

Exercice 2 : Manipulation des Fonctions Exponentielles

Trois questions indépendantes pour vérifier votre agilité avec les exponentielles.

• Question 1 : Simplification d'une expression en utilisant les propriétés des puissances de l'exponentielle, telles que \((e^a)^b = e^{ab}\) et \(\frac{e^a}{e^b} = e^{a-b}\).
• Question 2 : Démonstration d'une égalité algébrique impliquant \(e^x\) et \(e^{-x}\).
• Question 3 : Résolution d'équations et d'inéquations exponentielles. Cela implique souvent l'utilisation de la fonction logarithme népérien comme fonction réciproque : \(e^A = B \iff A = \ln(B)\).

Exercice 3 : Techniques de Dérivation

Cet exercice est un test rapide sur votre maîtrise des différentes formules de dérivation.

• Calcul de la dérivée d'un quotient de fonctions (\( (u/v)' \)).
• Calcul de la dérivée d'un produit de fonctions (\( (uv)' \)).
• Utilisation des formules de dérivées de fonctions composées avec la puissance (\((u^n)'\)), l'exponentielle (\((e^u)'\)) et la racine carrée (\((\sqrt{u})'\)).

Exercice 4 : Étude de Fonction Complète

Ce problème est le cœur du sujet, une étude de fonction très complète mêlant lecture graphique, calculs et raisonnement.

• Partie A : Lecture graphique pour déterminer les solutions de \(f'(x)=0\) (abscisses des tangentes horizontales) et le signe de la dérivée (sens de variation de \(f\)).
• Partie B : On exploite les informations données pour retrouver l'expression de la fonction \(f\).
  • Détermination de l'équation de l'asymptote oblique.
  • Utilisation du centre de symétrie \(J(0,1)\) pour établir une relation entre \(f(x)\) et \(f(-x)\) et en déduire la parité de certaines fonctions.
  • Utilisation de l'équation de la tangente pour trouver les derniers paramètres de la fonction.
• Partie C : Étude analytique de la fonction \(f(x) = 1 + x - xe^{-x^2+1}\).
  • Étude de la position relative de la courbe par rapport à sa tangente en étudiant le signe de leur différence.
  • Calcul de la dérivée seconde \(f''(x)\) pour déterminer la convexité de la fonction et ses points d'inflexion.
  • Dressage du tableau de variation de \(f'\) puis, à l'aide du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, justification de l'existence d'une unique solution à \(f'(x)=0\).
  • Synthèse dans le tableau de variation final de \(f\).

Exercice 5 : Prise de Décision avec la Loi Binomiale

Un court exercice pour appliquer la loi binomiale à un problème de prise de décision (test d'hypothèse).

• Question 1 : Calcul d'un intervalle de fluctuation à 95% pour le nombre de patients infectés, en se basant sur l'hypothèse \(p=0,13\). Cela nécessite l'utilisation des probabilités cumulées de la loi binomiale, généralement avec une calculatrice.
• Question 2 : Comparaison d'une fréquence observée (8%) avec l'intervalle de fluctuation théorique pour conclure si l'observation est compatible avec l'hypothèse de départ.