Contrôle corrigé de Mathématiques pour Terminale Spécialité

Ce sujet d'évaluation porte sur plusieurs chapitres clés du programme de mathématiques en Terminale spécialité : la continuité, l'étude de fonctions, la dérivation, la convexité et, plus particulièrement, la fonction logarithme népérien. C'est un excellent entraînement pour les élèves visant à maîtriser l'analyse de fonctions, une compétence essentielle pour le baccalauréat et les études supérieures.

Exercice 1 : Maîtrise de la dérivation avec la fonction logarithme

Cet exercice vise à évaluer la capacité à dériver des fonctions composées faisant intervenir la fonction logarithme. Il faut appliquer la formule de dérivation de \(ln(u(x))\), qui est \(\frac{u'(x)}{u(x)}\).

• Calcul de la dérivée de \(f(x) = ln(e^x + e^{2x})\), combinant les règles de dérivation du logarithme et de l'exponentielle.
• Calcul de la dérivée de \(g(x) = ln(\frac{1}{x^4} + \frac{1}{x^2})\), nécessitant la maîtrise des dérivées de fonctions puissances.

Exercice 2 : Résolution d'équations et d'inéquations

Cet exercice se concentre sur les techniques de résolution d'équations et d'inéquations variées, un savoir-faire fondamental en analyse.

• Résolution d'une inéquation du second degré \(-x^2 + 8x + 9 < 0\), un prérequis important.
• Résolution d'une équation logarithmique \(ln(x + 1) - ln(-4x - 4) + ln(5 – x) = 0\), exigeant la connaissance des propriétés algébriques du logarithme et une attention particulière au domaine de définition.
• Résolution d'une inéquation \(8ln x + 9 < (lnx)^2\) se ramenant à une inéquation du second degré via un changement de variable \(X = ln(x)\).
• Résolution d'inéquations logarithmiques complexes comme \(ln((x - 3)^2) < ln(x + 9) + ln 2\), où la gestion du domaine de validité est cruciale.
• Application du logarithme pour résoudre des inéquations exponentielles de la forme \((\frac{7}{8})^n < 0,01\) et \(5^{n+2} < 20000\).

Exercice 3 : Calcul de limites avec le logarithme

Cet exercice teste la compréhension des limites de fonctions, notamment les formes indéterminées et l'utilisation des théorèmes de croissance comparée.

• Détermination de la limite de \(x - ln(x)\) en \(+\infty\), une application directe de la croissance comparée.
• Calcul de la limite de \(\frac{ln(1+sin(x))}{x}\) en 0. Il s'agit de reconnaître la définition du nombre dérivé d'une fonction composée.
• Calcul de la limite de \(\sqrt{x} ln(x)\) en \(0^+\), un autre cas classique de croissance comparée.

Exercice 4 : Problème complet d'étude de fonction

Ce problème est une synthèse complète qui mobilise un grand nombre de compétences. L'étude est divisée en deux parties pour guider le raisonnement.

Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire

On étudie une fonction auxiliaire \(g(x) = x^3 − x − 2 ln x + 1\) pour déterminer le signe de la dérivée de la fonction principale \(f(x) = x + \frac{1}{x} + \frac{ln(x)}{x^2}\). Cette méthode est un grand classique des problèmes d'analyse.

• Calcul de la dérivée \(g'(x)\) et étude de son signe.
• Construction du tableau de variations de \(g\) pour en déduire son signe.
• Calcul des limites de \(f\) en \(0\) et \(+\infty\).
• Démonstration de la relation \(f'(x) = \frac{g(x)}{x^3}\) et construction du tableau de variations de \(f\).

Partie B : Asymptote oblique et position relative

Cette partie se concentre sur l'étude graphique de la fonction \(f\).

• Utilisation du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (TVI) sur une autre fonction auxiliaire \(h(x) = x + ln(x)\) pour prouver l'existence d'une solution unique à l'équation \(h(x) = 0\).
• Vérification que la droite d'équation \(y = x\) est une asymptote oblique à la courbe de \(f\) en \(+\infty\).
• Détermination de la position relative de la courbe par rapport à son asymptote en étudiant le signe de \(f(x) - x\).
• Construction de la courbe et de son asymptote.