Ce document présente un sujet de contrôle de mathématiques pour le niveau Seconde, axé sur les chapitres des fonctions affines et du calcul littéral. D'une durée d'une heure, cette évaluation, avec calculatrice autorisée, teste les compétences fondamentales des élèves sur ces notions essentielles du programme. Ce corrigé détaillé vous permettra de comprendre chaque étape de la résolution des exercices. C'est un excellent support pour s'entraîner et réviser avant une évaluation. Mots clés : Contrôle corrigé, Sujet de maths, Seconde, fonctions affines, calcul littéral, identités remarquables, problème concret.

Exercice 1 : Rappel des identités remarquables

Cet exercice d'introduction vise à vérifier la connaissance des trois identités remarquables fondamentales. Il est crucial de les maîtriser parfaitement car elles sont la base de nombreux calculs en algèbre.

• 1) Développement de \((a+b)^2\) : \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
• 2) Développement de \((a-b)^2\) : \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
• 3) Factorisation de \(a^2 - b^2\) : \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\)

Exercice 2 : Modélisation avec les fonctions affines - Un problème de forfaits de ski

Cet exercice est un problème complet qui met en application les fonctions affines dans un contexte concret. Il s'agit de comparer trois offres tarifaires pour une saison de ski et de déterminer la plus avantageuse selon le nombre de journées skiées.

• Question 1 : Il s'agit de calculer le coût pour 2, 6 et 10 journées de ski pour chaque formule, ce qui permet de se familiariser avec le problème et de remplir un tableau de valeurs.
• Question 2a : La compétence de modélisation est ici centrale. Il faut associer chaque formule (A, B, C) à une fonction mathématique \(f, g, h\).
  • Formule A (\(36,50€\) par jour) est une situation de proportionnalité, représentée par une fonction linéaire : \(h(x) = 36,5x\).
  • Formule B (abonnement de \(90€\) plus \(18,50€\) par jour) est représentée par une fonction affine : \(f(x) = 90 + 18,5x\).
  • Formule C (forfait unique de \(448,50€\)) est représentée par une fonction constante : \(g(x) = 448,5\).
• Question 2b : Pour trouver quand les formules A et B sont identiques, on résout l'équation \(h(x) = f(x)\), soit \(36,5x = 90 + 18,5x\). C'est une équation du premier degré simple qui permet de trouver le point d'intersection des deux droites correspondantes.
• Question 3 : Cette partie est consacrée à l'analyse graphique.
  • a. On associe les droites \((d_1), (d_2), (d_3)\) aux fonctions en analysant leur nature (linéaire, affine, constante), leur coefficient directeur (pente) et leur ordonnée à l'origine.
  • b. Avec un budget de 320€, on cherche le nombre maximal de journées. Cela revient à résoudre graphiquement les inéquations \(f(x) \leq 320\), \(g(x) \leq 320\) et \(h(x) \leq 320\), puis à comparer les solutions pour choisir la meilleure option.
  • c. Pour déterminer à partir de quand la formule C est la plus avantageuse, on doit comparer graphiquement la position des trois droites et identifier les intervalles où la droite représentant la formule C est en dessous des deux autres.

Exercice 3 : Détermination de l'expression d'une fonction affine

Cet exercice se concentre sur les techniques de base pour manipuler les fonctions affines. On part de deux points connus de la fonction pour en retrouver toutes les caractéristiques.

• Question 1 : On calcule le coefficient directeur (ou taux d'accroissement) \(a\) de la fonction \(f\) à partir des points de coordonnées \((-3, 4)\) et \((6, -2)\) en utilisant la formule : \(a = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}\).
• Question 2 : Sachant que \(f(0)=2\), on connaît l'ordonnée à l'origine \(b=2\).
  • a. On peut alors donner l'expression algébrique complète de la fonction : \(f(x) = ax + b\).
  • b. Il suffit ensuite de calculer les images de \(-7, 5, 10\) pour compléter le tableau de valeurs.
• Question 3 : L'objectif est de tracer la droite représentative \(C_f\) dans un repère. Il faut pour cela placer au moins deux points (ceux donnés dans l'énoncé ou calculés) et les relier.

Exercice 4 : Maîtrise du calcul littéral

Ce dernier exercice est un test de pure technique algébrique, indispensable pour la suite du lycée. Il porte sur le développement et la factorisation d'expressions en utilisant les identités remarquables.

• Question 1 (Développement) :
  • Expression A : \((2x + 6)^2 + (5x + 3)^2\) requiert l'application de \((a+b)^2\) deux fois.
  • Expression B : \((\frac{1}{3}x - 8x)^2\) utilise l'identité \((a-b)^2\).
  • Expression C : \(1 - (3y - 1)(3y + 1)\) utilise \((a-b)(a+b)\) pour développer le produit.
• Question 2 (Factorisation) : L'objectif est de reconnaître la forme d'une identité remarquable pour réécrire les expressions comme des produits.
  • Expression E : \(\frac{x^2}{36} + xy + 9y^2\) (après correction d'une coquille probable de l'énoncé) est de la forme \(a^2 + 2ab + b^2\).
  • Expression F : \(-28x + 4x^2 + 49\), une fois réorganisée en \(4x^2 - 28x + 49\), est de la forme \(a^2 - 2ab + b^2\).
  • Expression G : \(16 - (11x - 25)^2\) est de la forme \(a^2 - b^2\), où \(a=4\) et \(b=(11x-25)\).