Introduction
Allez les amis, ça commence à devenir sérieux. On va voir comment étudier la position relative de deux fonctions affines très simplement. On s'y met tout de suite.
Technique d'étude de la position relative de deux fonctions
Ce problème de position relative, vous allez en entendre parler jusqu'au bac. Pour étudier la position relative de deux objets, il n'y a qu'une seule technique. Elle s'affiche en deux étapes :
1. J'étudie \(f(x) - g(x)\).
2. Je regarde le signe de \(f(x) - g(x)\).
Si \(f(x) - g(x)\) est positif, ça veut dire que la fonction \(f\) est au-dessus de la fonction \(g\). Si \(f(x) - g(x)\) est négatif, c'est à dire que la fonction \(f\) est en dessous de la fonction \(g\).
Donc la première étape ici, c'est d'étudier \(f(x) - g(x)\). En remplaçant ici \(5x + 3 - g(x)\), attention au signe moins que j'ai dit, donc c'est moins ouvrez les parenthèses \(4x + 2\). Donc ça fait \(5x + 3 - (4x + 2)\). Pour enlever la parenthèse, je mets un signe - devant et j'applique aux deux termes, donc ça donne \(5x - 4x + 3 - 2\). Maintenant je réfléchis, \(5x - 4x\) ça fait \(x\), donc \(x + 3 - 2\) ça me fait \(x + 1\).
Étude du signe de la fonction
Je vous rappelle que la deuxième étape, c'est d'étudier le signe de \(f(x) - g(x)\). Donc on va étudier le signe de \(x + 1\). Pour cela, on va dresser le tableau de signes de \(x + 1\).
Première étape, quand est-ce que \(x + 1\) est égal à 0 ? Quand \(x = -1\). Donc je sais que quand \(x\) vaut -1, \(f - g\) vaudra 0. Je mets mes bornes.
La question qui suit est : est-ce que c'est plus, moins ou moins plus ? Ma fonction \(x + 1\) est une fonction affine dont le coefficient directeur, c'est à dire ce qui est devant le \(x\), vaut 1. Cette fonction est donc croissante. Avant de valoir 0, elle est négative, puis elle est positive.
Formidable, j'ai le signe de \(f - g\) et je n'ai plus qu'à conclure sur la position. Quand \(f - g\) est négative, ça veut dire que \(f\) est en dessous de \(g\). Et quand \(f - g\) est positif, c'est à dire que \(f\) est au-dessus de \(g\).
Et voilà, c'est terminé. Vous avez étudié le signe et la position relative de \(f\) et \(g\). Si c'étaient deux autres fonctions, par exemple une fonction affine et une fonction constante, cela serait exactement la même technique.
Jusqu'au bac, dès que vous entendrez les mots "position relative" de deux objets, vous allez faire la différence et vous allez faire ce tableau de signes. On vous a mis des petits exercices en dessous, à vous de jouer. Allez, au travail les champions !