Ce document propose le corrigé détaillé d'un contrôle de mathématiques pour le niveau Seconde. Ce sujet, portant la référence 23, couvre trois chapitres fondamentaux du programme : le calcul littéral, la résolution d'équations et les fonctions affines. D'une durée d'une heure et sans calculatrice, cette évaluation teste les compétences de base en manipulation d'expressions algébriques et en analyse graphique. C'est un excellent support pour s'entraîner et réviser avant une évaluation. Retrouvez une analyse complète, exercice par exercice, pour comprendre chaque étape du raisonnement.
Exercice 1 : Maîtrise du calcul littéral (Développement et Factorisation)
Cet exercice en deux parties vise à évaluer la maîtrise des techniques de base du calcul littéral. La première partie est consacrée au développement et à la réduction d'expressions, tandis que la seconde se concentre sur la factorisation.
Partie 1 : Développer et réduire
Il s'agit d'appliquer les règles de distributivité et les identités remarquables pour transformer des produits en sommes.
- Pour l'expression \(A = 4(2x - 3) – (7 – x)\), on utilise la distributivité simple pour développer \(4(2x - 3)\) et on fait attention au signe moins devant la parenthèse \((7-x)\).
- Pour l'expression \(B = -2(5 – x)(2 – 3x)\), il faut appliquer la double distributivité sur \((5-x)(2-3x)\) puis multiplier le résultat par \(-2\).
- L'expression \(C = (3x - \frac{1}{2})^2\) se développe à l'aide de l'identité remarquable \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
- Enfin, pour \(D = -3x(x + 1) + x - 2\), on applique à nouveau la distributivité simple sur \(-3x(x+1)\) avant de réduire l'ensemble.
Partie 2 : Factoriser
L'objectif est ici de transformer des sommes en produits en identifiant un facteur commun ou en utilisant une identité remarquable.
- Pour \(E = 10x - 10x^2\), le facteur commun évident est \(10x\).
- Pour \(F = (6x - 1)(2x + 5) - (6x – 1)(3 - x)\), le facteur commun est l'expression \((6x-1)\).
- Pour \(G = (3x - 1)(2x + 3) - (2x + 3)\), le facteur commun est \((2x+3)\). On peut voir le second terme comme \(1 \times (2x+3)\).
- Pour \(H = 2(2x - 5)^2 + (2x - 5)\), le facteur commun est \((2x-5)\).
Exercice 2 : Étude d'une fonction et résolution d'équation
Cet exercice s'articule autour de la fonction \(f\) définie par \(f(x) = (2x - 2)^2 – (5x + 3)^2\). Il fait le lien entre les différentes formes d'une expression (développée, factorisée) et leur utilité pour résoudre des équations.
- 1) Donner la forme développée de f(x) : Il faut développer chaque carré en utilisant les identités remarquables \((a-b)^2\) et \((a+b)^2\), puis soustraire les résultats et réduire l'expression finale pour obtenir un polynôme du second degré de la forme \(ax^2+bx+c\).
- 2) Donner la forme factorisée de f(x) : L'expression de \(f(x)\) est de la forme \(A^2 - B^2\). On utilise donc l'identité remarquable \(A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)\) avec \(A = 2x-2\) et \(B = 5x+3\).
- 3) Résoudre dans ℝ l'équation f(x) = 0 : C'est la forme factorisée qui est la plus adaptée pour cette question. En posant l'expression factorisée égale à zéro, on obtient une équation produit nul. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul. On résout donc deux équations du premier degré simples.
Exercice 3 : Résolution d'équations du premier et second degré
Cet exercice propose quatre équations à résoudre, nécessitant différentes stratégies : reconnaissance d'identités remarquables, factorisation, ou simplification menant à des équations plus simples.
- 1) \(36x^2 - 12x + 1 = 0\) : On doit reconnaître l'identité remarquable \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\). L'équation devient \((6x-1)^2=0\), ce qui équivaut à \(6x-1=0\).
- 2) \(x^2 - 25 = (x - 5)^2\) : Il faut développer le membre de droite avec \((a-b)^2\), puis simplifier l'équation. Les termes en \(x^2\) s'annulent, et on obtient une équation du premier degré.
- 3) \((x + 1)(x + 3) - (x + 1)^2 = 0\) : La méthode consiste à factoriser par le facteur commun \((x+1)\). On se ramène alors à une équation produit nul.
- 4) \((5x - 1)(x + 2) + 10x - 2 = 0\) : L'astuce ici est de remarquer que \(10x-2\) peut se factoriser en \(2(5x-1)\). Cela fait apparaître le facteur commun \((5x-1)\), permettant de factoriser toute l'expression et de résoudre une équation produit nul.
Exercice 4 : Détermination d'expressions de fonctions affines
Le dernier exercice est une application graphique des fonctions affines. À partir de la représentation graphique de quatre droites (\(C_f, C_g, C_h, C_i\)), il faut retrouver l'expression algébrique de chaque fonction correspondante, de la forme \(f(x) = ax+b\).
Pour chaque droite, la méthode est la suivante :
- Déterminer l'ordonnée à l'origine \(b\) : C'est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées (l'axe vertical). On lit directement cette valeur sur le graphique.
- Déterminer le coefficient directeur \(a\) : On choisit deux points distincts sur la droite, de coordonnées \((x_1, y_1)\) et \((x_2, y_2)\). Le coefficient directeur (ou la pente) se calcule avec la formule \(a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\). Graphiquement, cela correspond au "déplacement vertical" divisé par le "déplacement horizontal" pour aller d'un point à l'autre de la droite.
Une fois \(a\) et \(b\) trouvés pour chaque fonction, on peut compléter le tableau en donnant leur expression explicite.