14. Reconnaître une fonction affine dans une situation

Introduction

[Musique] Allez, on se retrouve sur une nouvelle compétence sur les fonctions affines. Aujourd'hui, on nous propose ce petit énoncé qui nous dit : "J'achète un plant de tomates de 5 cm de haut et toutes les semaines ce plant pousse de 2 cm. Peut-on représenter cette situation par une fonction affine ?" D'accord, est-ce que déjà ça va ? Non ? Petit rappel sur les fonctions affines, il n'y a pas de problème.

Rappel sur les fonctions affines

Donc déjà, l'expression d'une fonction affine, on se rappelle que c'est \(f(x) = ax + b\), avec \(a\) le coefficient directeur et \(b\) l'ordonnée à l'origine. On peut aussi dire \(mx + p\), ça va dépendre des leçons. Donc ici, ça va être \(ax + b\), mais retenez \(mx + p\), c'est ça qui est le cas dans votre leçon. Graphiquement, on peut aussi se représenter ça. Les représentations graphiques, c'est toujours, toujours, toujours, oui tu l'as, des droites. Oui, voilà, une droite, une droite avec un passage à l'ordonnée qui est notre \(b\) à l'origine, c'est la valeur qui est à l'origine de la fonction quand \(x\), l'antécédent \(x\), vaut 0, on a une image qui vaut \(b\). Et la pente, la pente, le coefficient directeur, on peut le représenter, on peut le lire graphiquement en avançant de 1 et en montant de \(a\). Et il faut toujours se rappeler par contre la formule qui est \(y_b - y_a\) sur \(x_b - x_a\). Il y a d'autres façons de l'exprimer, mais voilà, vous revenez sur les formules si c'est si vous ne l'avez pas.

Application à la situation du plant de tomates

Ici, on va répondre à notre question qui est : est-ce que ce plant de tomates qui pousse de 2 cm tous les ans avec une hauteur initiale de 5 cm, est-ce qu'on peut le représenter par une fonction affine ? Alors le plus logique, ou le plus simple pour beaucoup de monde, c'est de passer par la représentation graphique. Ici, on peut même se schématiser avant même de passer par une représentation graphique par ce petit plant de tomates. Donc, on peut se faire une petite tige comme ça, ou des petites branches qui commencent à pousser et au bout d'une semaine, alors on va même mettre, bon là je pense que je n'aurais pas la place de faire beaucoup, beaucoup de semaines, on va dire que ça c'est semaine 0, semaine 1, semaine 2, bon on va voir si on a la place pour semaine 3 et après etc, etc, on va voir qu'il y a un pattern qui se crée. Donc, ma semaine 1, donc là j'aime bien mis zéro parce que c'est quand je l'achète, c'est il s'est encore écoulé aucune semaine, ça me faisait 5 cm et après, hop, bon je suis pas très à l'échelle, on verra ça, on peut faire une petite référence, un petit sol de référence, je vais essayer de faire ça droit, mais comment je suis bon et habile de mes doigts, ouais bon ça va, ça passe, c'est à peu près ça. Alors après, je peux même mettre mon petit 5 cm de base, ici j'avais, hop, petite côte, 5 cm, ici j'ai quoi, hop, 5 plus 2 donc 7 cm, on est d'accord, ouais, je vais m'arrêter à semaine, ça commence déjà et on va pas faire 3 heures sur des petits schémas, c'est juste pour avoir l'idée, ça pousse, et des petites branches, on peut aller un peu dans le détail, et bim, les petites branchettes comme ça, ça pousse, ça pousse, mais nous, c'est ce qui nous intéresse, c'est pas la largeur, c'est la hauteur, donc c'est encore une fois, histoire de, cette fois ci, c'est pas 5 + 2, c'est 7 + 2, et oui, j'ai pris le truc, il est pas redescendu, il reste à sa taille d'avant et ça me fait 9 cm. Donc, il y a une histoire, on voit bien, alors si j'extrapole, on peut avoir une situation, extrapolation, parce que là en fait, c'est toutes les semaines, je prends un instant \(T\), c'est comme si je prenais une photo, comme ça, voilà, mais il se passe des choses entre le moment zéro et le moment 1, en fait, il y a tous les jours, toutes les secondes, en fait, ma plante, elle pousse, c'est juste, je vois pas, quand je regarde la plante, elle pousse tout le temps. Et si on extrapole, c'est-à-dire, on fait une droite entre les deux, on voit bien que ça marche, parce que là, si je relis ce point là et ce point là, bon moi, j'ai pas fait le truc à l'échelle, donc ça va peut-être pas marcher, mais vous avez l'idée, vous verrez que forcément, comme on a plus de à chaque fois, donc on peut même mettre, comment je vais représenter ça, on peut faire peut-être des pointillés, mais pareil, je vais peut-être pas être très bon, comme ça, à la tablette, vous pouvez, là, vous me sortez une petite règle, vous mettez horizontal et à chaque fois, qu'est-ce qu'on voit, ici, on a, on avait bien le plus de, mais ici, on a plus de, plus de, par rapport à l'origine, on a plus 4 et après, on aurait quoi, plus 6, tout à fait, etc, etc, etc, et c'est comme ça qu'on va retrouver notre fonction affine. Alors là, c'est graphiquement, donc même avec une justification, alors on aurait pu même faire, là, je l'ai fait juste un schéma, mais on aurait pu faire vraiment un tracé sur un sur un repère, voilà, et le tracé, et là, ça aurait été une justification, c'est une justification possible. Donc là, si je me mets, donc du coup, on a bien dit, à zéro, on a 5, on a 7, donc là, pareil, je suis pas très à l'échelle, à une semaine, j'en ai 7, à 2 semaines, on a 9, etc, donc là, on, vous pouvez tracer, donc à une, à zéro, je suis à 5, à une semaine, je suis à 7, à 2 semaines, je suis à 9, j'ai 11, etc, etc, et là, vous voyez, ça fait une petite droite, bon, à peu près une droite, mais c'est ça, la droite, où je pourrais calculer la pente, mais c'est pas ce qu'on me demande, je pourrais calculer le \(a\), je le mets, je l'ai là, ça, c'est mon \(b\), mais si vous représentez ça graphiquement, vous dites, vous exprimez bien, ce qu'il faut bien préciser, c'est que ici, mais \(x\), c'est quoi, c'est ma hauteur, non, c'est mon nombre de semaines, ok, c'est la durée, si vous voulez, mais si on compte en semaine, et en ordonnée, qu'est-ce qu'on a, donc en \(f\), ça, ce serait une courbe représentative de \(f\), mon \(f\), c'est quoi, c'est ma hauteur de mon plant de tomate, bon, vous avez compris, je mets hauteur plant, ok, donc là, vous pouvez justifier graphiquement, comme ça, en représentant chaque semaine, la hauteur de mon plant de tomate, on voit bien que ça fait une droite, donc qui par une fonction, c'est les représentations de fonction affine, donc ça marche.

Expression algébrique de la fonction

On va regarder juste l'autre méthode qui est retrouver l'expression. Ce soit, on a représentation graphique, soit on a l'expression algébrique. Et là, comment on l'a fait un peu avec le schéma, maintenant, on a plus qu'à appliquer. \(x\), on a dit que c'était quoi, le nombre de semaines, j'écris très mal, je suis désolé. \(f\), on avait dit, comme sur le graphique, que c'est les hauteurs, la hauteur du plant en fonction des semaines, en fonction de \(x\). Donc, comment on fait pour retrouver \(f(x)\) avec notre \(x\) et notre machin. Le plus, le plus \(b\), on l'a vu, même dans le texte, on dit qu'à l'origine, on a 5 cm, donc à la base, j'avais 5 cm, donc j'ai plus 5. Maintenant, le \(a\), comment on peut le représenter, revenez un petit peu sur le schéma, est-ce que je peux pas multiplier le nombre de semaines par quelque chose pour mon pour me donner ce que je dois ajouter à 5, ok, là, j'ai plus deux au bout d'une semaine, j'ai plus 4 ou 2 semaines et j'ai plus 6 au bout de trois semaines, au bout de quatre semaines, j'aurais pu suite, vous voyez pas, en fait, ce + 2 + 2 + 2 + 2 qu'on accumule comme ça, on a un truc en maths qui s'appelle la multiplication, c'est pour dès qu'on a ajouté toujours le même nombre, on le simplifie avec, c'est tout simplement deux, et oui, de \(x\), je multiplie le nombre de semaines par deux, ça va me donner ce que je dois ajouter à 5 pour avoir la hauteur totale, vous l'avez ou pas. Donc, ça, c'est moins, moins intuitif, mais que le graphique, mais voilà, c'est, c'est des réflexions que vous devez avoir. Donc, moi, je vous dis, entraînez-vous avec ces petits graphiques, avec ces petits énoncés, pardon, avec une seule représentation graphique, soit avec l'expression, retrouver et en tout cas, justifie que c'est une fonction affine avec ces deux expressions, c'est deux façons de faire. En tout cas, faites des exercices, regardez plein d'ici, plein de sujets, plein d'énoncés et je vous dis, à vous de jouer.