17. Factoriser avec les identités remarquables

Introduction

Allez, mettons-nous au travail. Dans cette vidéo, nous allons voir comment factoriser, grâce aux identités remarquables, les expressions les plus compliquées sans se prendre la tête.

Les identités remarquables

La première chose à faire pour factoriser des expressions avec les identités remarquables, c'est de connaître ces identités. On vous les a remises sur une fiche, il faut les apprendre par cœur. Ensuite, quand vous avez une expression comme celle-ci, vous devez déterminer comment la factoriser. C'est ce que l'énoncé demande. Il n'y a rien de plus simple, je vais vous expliquer comment faire. La première étape est de savoir à peu près laquelle des trois expressions est concernée. Ici, ce ne sera certainement pas \(a^2 - 2ab + b^2\) car j'ai un "+" ici. Donc, ce ne sera certainement pas \(a^2 - b^2\) non plus, car dans cette expression, il y a un "-" et ici, j'ai un "+". Donc, il ne reste plus que \(a^2 + 2ab + b^2\).

Comment trouver les valeurs de a et b ?

Comment vais-je retrouver a et b ? Que dois-je faire pour les trouver ? Une fois que vous les avez trouvés, il n'y a rien de plus simple. Je sais que cela donne \( (a + b)^2 \). Encore faut-il les trouver. Alors, le b est donné, car vous savez que \(b^2 = 3\) et vous savez que b est positif. Donc, b est forcément égal à la racine carrée de 3. Vous savez déjà que cela va être de la forme \( (a + \sqrt{3})^2 \). Il ne reste plus qu'à trouver a. Comment fait-on ? Vous savez que \(2ab = 2x\), mais vous savez que \(b = \sqrt{3}\). Donc, vous savez que \(2a\sqrt{3} = 2x\). En divisant tout par \(2\sqrt{3}\) ici et ici, je vais simplifier les deux et je me retrouve avec \(a = \frac{x}{\sqrt{3}}\). Donc, \( (a + b)^2 = \left(\frac{x}{\sqrt{3}} + \sqrt{3}\right)^2 \), ce qui donne bien \(x^2 + 2x\sqrt{3} + 3\). La technique est la suivante : premièrement, je trouve b. B est donné, c'est \(b^2\). Pour trouver b, j'ai juste à prendre la racine carrée de ce nombre. Ensuite, j'écris que \(2ab\) vaut ce nombre. Je remplace b par l'expression que j'ai trouvée juste avant et cela me donne la valeur de a.

Conclusion

En répétant cette technique, on ne peut pas se tromper. Il n'y a rien de plus simple. Nous avons mis en pratique cette méthode avec plusieurs exemples.