Contrôle Corrigé de Mathématiques pour la Seconde : Inéquations et Fonctions

Ce sujet de contrôle pour la classe de Seconde est une évaluation complète portant sur les chapitres des inéquations, des fonctions affines et de l'étude de fonctions. Conçu pour être réalisé en une heure et sans calculatrice, il teste la maîtrise des concepts fondamentaux, du calcul littéral à l'interprétation graphique. Ce corrigé détaillé vous permettra de comprendre chaque étape du raisonnement et de vous préparer efficacement. Mots clés : Contrôle corrigé, Sujet de maths, Seconde, Inéquations, Fonctions affines, Tableau de signes, Étude de fonctions.

Analyse de l'Exercice 1 : Calculs Numériques, Ordre et Inégalités

Cet exercice d'introduction vise à évaluer la capacité à manipuler des expressions numériques et littérales, ainsi qu'à comparer des nombres en utilisant différentes techniques.

• Question 1 : Il s'agit de comparer les nombres \( A = \sqrt{3} - 3 \) et \( B = \sqrt{12 - 6\sqrt{3}} \). La clé est de reconnaître une identité remarquable sous la racine de B, \( 12 - 6\sqrt{3} = (\sqrt{3}-3)^2 \). Cela teste la simplification des racines carrées et la prudence avec les signes.
• Question 2 : Comparer \( C = (a + 1)(b + 1) \) et \( D = ab + 1 \) avec \(a\) et \(b\) strictement négatifs. L'élève doit étudier le signe de la différence \( C - D = a + b \), ce qui demande un raisonnement sur le signe d'une somme.
• Question 3 : Comparer \( (\frac{1}{3})^n \) et \( (\frac{1}{3})^{n+1} \). Cette question porte sur les propriétés des puissances et le sens de variation de la fonction exponentielle de base \( \frac{1}{3} \).
• Question 4 : Comparer \( E = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \) et \( F = 2 \) avec \(a\) et \(b\) négatifs. Il faut étudier le signe de \( E - F = \frac{(a-b)^2}{ab} \), ce qui combine calcul littéral, identités remarquables et raisonnement sur les signes.
• Question 5 : Donner un encadrement de \( 2 - 3x \) sachant que \( -4 \le x \le 5 \). C'est une application directe des règles de manipulation des inégalités (multiplication par un négatif, addition).

Analyse de l'Exercice 2 : Inéquation Quotient et Tableau de Signes

Cet exercice est un classique du chapitre sur les inéquations. Il est demandé de résoudre l'inéquation \( \frac{2x-8}{(-x+1)(x+2)} \le 0 \). La méthode attendue est l'utilisation rigoureuse d'un tableau de signes. L'élève doit identifier les valeurs qui annulent chaque facteur du numérateur et du dénominateur, déterminer le signe de chaque fonction affine, et en déduire le signe du quotient, sans oublier d'exclure les valeurs interdites. C'est une compétence technique centrale.

Analyse de l'Exercice 3 : Mise en Problème et Inéquation Produit

Cet exercice contextualise la résolution d'inéquation. À partir d'une fonction de bénéfice donnée sous forme factorisée, \( B(x) = (-x + 20)(x – 50) \), on demande de déterminer quand la production est rentable. Cela se traduit par l'inéquation \( B(x) > 0 \). L'élève doit donc transformer un problème concret en une inéquation produit et la résoudre, très probablement à l'aide d'un tableau de signes.

Analyse de l'Exercice 4 : Algorithmique et Suites

Cet exercice court évalue la capacité à lire et à comprendre un programme simple en Python. Il faut dérouler une boucle `for` pour déterminer la valeur retournée par la fonction `Mystere(3, 1)`. Cela teste la logique algorithmique et la capacité à suivre des instructions pas à pas.

Analyse de l'Exercice 5 : Étude comparative de Fonctions

Cet exercice très complet est au cœur du sujet. Il met en jeu une fonction polynôme du second degré \( f(x) = -2x^2+6x+4 \) (dont la courbe est donnée) et une fonction affine \( g(x) = -2x + 10 \).

• Partie 1 (Graphique) : On étudie d'abord la fonction affine \(g\) (sens de variation, tracé de sa droite) puis on demande de résoudre graphiquement l'inéquation \( f(x) > g(x) \). Cela consiste à identifier les intervalles où la parabole \(C_f\) est située au-dessus de la droite \(C_g\).
• Partie 2 (Algébrique) : On passe à la résolution par le calcul. L'élève doit d'abord vérifier par développement que \( f(x) - g(x) = (-2x+6)(x - 1) \). Ensuite, il doit résoudre l'inéquation \( f(x) > g(x) \), ce qui revient à étudier le signe du produit \( (-2x+6)(x - 1) \) via un tableau de signes. L'exercice fait ainsi le lien essentiel entre la position relative de deux courbes et le signe de leur différence.

Analyse de l'Exercice Bonus : Calcul avec Racines Carrées

Le bonus propose de comparer \( C = \frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} \) et \( D = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2} \). La technique à mobiliser est celle de l'expression conjuguée pour simplifier la fraction C et montrer qu'elle est en fait égale à D.