Découvrez un sujet de contrôle de mathématiques complet pour la classe de Première spécialité, accompagné de son analyse détaillée. Ce sujet, d'une durée de 2 heures, couvre trois chapitres fondamentaux du programme : la trigonométrie, les polynômes du second degré et le produit scalaire. C'est un excellent support pour s'entraîner et valider ses connaissances. Chaque exercice est conçu pour évaluer des compétences précises, allant de la manipulation des formules trigonométriques à la résolution de problèmes concrets à l'aide de fonctions quadratiques et de la géométrie vectorielle.

Ce document propose une analyse pédagogique de chaque exercice, le reliant aux compétences officielles du programme de Première. Obtenez une vision claire de ce qui est attendu et des méthodes à maîtriser pour réussir votre évaluation. Mots-clés : contrôle corrigé, sujet de maths Première, spécialité maths, exercice trigonométrie, polynôme du second degré, produit scalaire, géométrie, fonctions.

Exercice 1 : Angle Moitié (Trigonométrie)

Cet exercice de trigonométrie se concentre sur la démonstration géométrique des formules de l'angle moitié. En s'appuyant sur le cercle trigonométrique et les propriétés des triangles, l'élève est guidé pas à pas pour retrouver ces relations essentielles.

• Question 1 : On commence par des rappels de base sur les coordonnées des points sur le cercle trigonométrique, \(I(1, 0)\) et \(M(\cos(x), \sin(x))\). Il faut ensuite utiliser la formule de la distance entre deux points pour prouver que \(IM = \sqrt{2 \times (1 - \cos(x))}\).
• Question 2 : L'analyse se poursuit avec l'étude du triangle \(IMO\). Il est demandé de reconnaître sa nature (isocèle car \(OI=OM=1\)) et d'en déduire des propriétés sur ses angles. La justification que l'angle \(\widehat{HOM} = \frac{x}{2}\) est une étape clé qui utilise les propriétés de la hauteur dans un triangle isocèle. Finalement, en travaillant dans le triangle rectangle \(MHO\), on établit la relation \(MH = \sin\left(\frac{x}{2}\right)\).
• Question 3 et 4 : Les dernières questions consistent à synthétiser les résultats précédents. En combinant les expressions de la distance \(IM\) et de la longueur \(MH\), on en déduit l'expression de \(\sin\left(\frac{x}{2}\right)\) en fonction de \(\cos(x)\). L'exercice se conclut par la démonstration de la formule de l'angle moitié pour le cosinus : \(\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \sqrt{\frac{1+\cos(x)}{2}}\).

Exercice 2 : Le Joueur de Basket (Polynômes du second degré)

Cet exercice est une application classique des fonctions polynômes du second degré à un problème de physique du mouvement, la trajectoire d'un ballon de basket. La fonction étudiée est \(f(x) = -0,3x^2 + 1,6x + 2\).

• Question 1 : On demande de trouver la hauteur initiale du lancer. Algébriquement, cela correspond à calculer l'image de 0, soit \(f(0)\), qui est l'ordonnée à l'origine du polynôme.
• Question 2 : Il s'agit de calculer la hauteur du panier, sachant que le joueur se trouve à 4,6 mètres de celui-ci. Il suffit de calculer l'image \(f(4.6)\) pour répondre.
• Question 3 : Cette question est au cœur du chapitre.
  • a. Il faut déterminer la forme canonique du polynôme \(f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta\). C'est une compétence technique indispensable pour étudier les extremums.
  • b. Grâce à la forme canonique, on peut déterminer la hauteur maximale atteinte par le ballon. Cette hauteur correspond à l'ordonnée du sommet de la parabole, c'est-à-dire la valeur de \(\beta\).

Exercice 3 : QCM (Questions à Choix Multiples)

Ce QCM balaye rapidement plusieurs compétences clés des trois chapitres. La justification est exigée, ce qui oblige à une vraie résolution et pas seulement une intuition.

• Question 1 : Test sur les identités remarquables et la relation fondamentale \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\) en simplifiant l'expression \((\cos(x) - 1)(\cos(x) + 1)\).
• Question 2 : Évaluation de la connaissance des angles associés sur le cercle trigonométrique. Il faut trouver parmi les propositions quel est l'angle qui a le même point image que \(\frac{3\pi}{4}\) (modulo \(2\pi\)).
• Question 3 : Résolution d'une inéquation du second degré. Il faut comparer une parabole et une droite, ce qui se ramène à l'étude du signe d'un trinôme \(ax^2+bx+c \le 0\).
• Question 4 : Calcul d'un produit scalaire \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\) dans un triangle où les trois longueurs de côtés sont connues. Cela nécessite l'utilisation de la formule issue du théorème d'Al-Kashi : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2)\) ou de sa variante \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \frac{1}{2}(AB^2 + AC^2 - BC^2)\).
• Question 5 : Calcul d'un produit scalaire à partir de deux longueurs et de l'angle formé par les vecteurs, via la formule de base \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \|\vec{AB}\| \times \|\vec{AC}\| \times \cos(\widehat{BAC})\).

Exercice 4 : Produit Scalaire et Projeté Orthogonal

Ce dernier exercice est un problème complet de géométrie analytique. L'objectif est de trouver les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur une droite, en utilisant les propriétés du produit scalaire.

• Question 1 : Calcul d'un produit scalaire \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\) en utilisant la formule analytique avec les coordonnées des vecteurs.
• Question 2 : Calcul de la longueur (ou norme) du vecteur \(\vec{AB}\), \(\|\vec{AB}\|\).
• Question 3 : C'est le cœur du problème.
  • a. Il est demandé d'utiliser une autre expression du produit scalaire, celle utilisant le projeté orthogonal : \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot \vec{AH}\).
  • b. En combinant les résultats, on montre que les vecteurs \(\vec{AH}\) et \(\vec{AB}\) sont colinéaires avec un rapport précis : \(\vec{AH} = \frac{11}{17} \vec{AB}\).
  • c. La dernière étape consiste à utiliser cette relation vectorielle pour calculer les coordonnées du point \(H\).

En résumé, ce sujet de contrôle de maths pour Première spécialité est un excellent outil de révision, couvrant de manière équilibrée les applications algébriques et géométriques de la trigonométrie, des polynômes et du produit scalaire.