Découvrez un sujet de contrôle complet pour la classe de Première spécialité mathématiques, accompagné de son analyse détaillée. Ce sujet, intitulé "Sujet 22", porte sur deux chapitres fondamentaux du programme : les polynômes du second degré et les probabilités conditionnelles. D'une durée d'1h30 et sans calculatrice, cette évaluation est idéale pour tester en profondeur la compréhension des concepts et la maîtrise des techniques de calcul. Ce document est une ressource précieuse pour les élèves souhaitant s'entraîner en conditions réelles et pour les enseignants cherchant des supports pédagogiques pertinents.

Ce contrôle corrigé permet de valider des compétences essentielles telles que la résolution d'équations et d'inéquations, l'étude de fonctions polynômes, et l'application des probabilités dans des contextes concrets. Chaque exercice est conçu pour aborder une facette spécifique du programme.

Exercice 1 : Reconnaissance de paraboles (4 points)

Cet exercice d'introduction vise à évaluer la capacité à lier les différentes écritures d'un polynôme du second degré à sa représentation graphique, la parabole. Quatre équations sont proposées sous différentes formes :

• Forme canonique : \( y = (x - 3)^2 - 1 \)
• Forme factorisée : \( y = 2(x - 2)(x - 4) \)
• Forme développée : \( y = x^2 + 1 \) et \( y = -x^2 + 1 \)

L'élève doit associer chaque équation à l'une des quatre paraboles tracées en justifiant son choix. Les justifications reposent sur l'identification d'éléments clés :

• Le sommet de la parabole, facilement lisible à partir de la forme canonique \( y = a(x - \alpha)^2 + \beta \).
• Les racines (points d'intersection avec l'axe des abscisses), données par la forme factorisée \( y = a(x - x_1)(x - x_2) \).
• L'orientation de la parabole (vers le haut si \(a > 0\), vers le bas si \(a < 0\)) et l'ordonnée à l'origine.

Exercice 2 : Étude d'un trinôme (4 points)

Cet exercice se concentre sur l'analyse algébrique d'un trinôme unique, \( f(x) = 10x^2 + 22x + 12 \). Les questions s'enchaînent logiquement pour réaliser une étude complète :

1. Vérification d'une racine : Il est demandé de montrer que -1 est une racine, ce qui se fait en calculant \( f(-1) \).
2. Recherche de la seconde racine : L'élève doit utiliser une méthode expliquée, comme la somme ou le produit des racines. Sachant que \( x_1 + x_2 = -b/a \) et \( x_1 x_2 = c/a \), et connaissant \( x_1 = -1 \), il est aisé de trouver \( x_2 \).
3. Forme factorisée : En utilisant les deux racines trouvées, il faut en déduire la forme factorisée du trinôme.
4. Tableau de signes : La dernière étape consiste à dresser le tableau de signes de \( f(x) \), en utilisant les racines et le signe du coefficient dominant \( a \).

Exercice 3 : Factorisation et Résolution (4 points)

Cet exercice teste la maîtrise des techniques de factorisation et leur application à la résolution d'équations et d'inéquations.

• Partie 1 (Factorisation) : Deux expressions sont à factoriser. La première, \( f(x) = 5x^2 + 2x \), est une simple mise en facteur commun. La seconde, \( g(x) = (x - 1)^2 - (2x - 3)^2 \), requiert la reconnaissance et l'application de l'identité remarquable \( A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \).
• Partie 2 (Résolution) : En s'appuyant sur les factorisations précédentes, l'élève doit résoudre une inéquation (\( 5x^2 + 2x > 0 \)) à l'aide d'un tableau de signes, et une équation (\( (x - 1)^2 = (2x - 3)^2 \)) qui se ramène à une équation produit nul.

Exercice 4 : Problème de trajectoire (4 points)

Ce problème concret met en scène la trajectoire parabolique d'une carpe koï. Il s'agit de modéliser une situation réelle à l'aide de fonctions du second degré.

• Partie A : La trajectoire de la carpe est donnée par \( f(t) = -t^2 + 4t - 4 \). Les questions portent sur l'interprétation du modèle : trouver la position initiale (\( t=0 \)) et le moment où la carpe atteint la surface (\( f(t)=0 \)).
• Partie B : Une deuxième parabole, \( g(t) = t^2 - 4t + 2 \), modélise la trajectoire d'une épuisette. La question "sera-t-il possible d'atteindre la carpe ?" se traduit mathématiquement par la recherche de solutions à l'équation \( f(t) = g(t) \). Résoudre cette équation permet de déterminer les instants et les points d'intersection des deux trajectoires.

Exercice 5 : Probabilités conditionnelles (4 points)

Le dernier exercice aborde les probabilités conditionnelles dans le contexte d'une réserve zoologique. L'énoncé fournit les proportions de lions et de guépards, ainsi que la probabilité conditionnelle pour chaque espèce d'être affamée.

1. Construction d'un arbre pondéré : C'est la première étape indispensable pour organiser les données et visualiser la situation.
2. Calcul de probabilités :
   • Calcul de la probabilité d'une intersection (\( P(G \cap A) \)), en utilisant une branche de l'arbre.
   • Calcul d'une probabilité totale (\( P(A) \)), en appliquant la formule des probabilités totales.
3. Calcul d'une probabilité conditionnelle "inversée" : La dernière question, "sachant qu'un animal est affamé, quelle est la probabilité que ce soit un guépard ?", demande de calculer \( P(G|A) \). C'est une application directe de la définition des probabilités conditionnelles, souvent associée au théorème de Bayes.