Ce sujet de contrôle de mathématiques pour la classe de Première spécialité, sans calculatrice, est une évaluation complète sur les chapitres des polynômes du second degré et de la trigonométrie. D'une durée d'une heure, il est conçu pour tester la maîtrise des concepts fondamentaux à travers des exercices variés, allant de l'analyse graphique à la résolution algébrique. Ce corrigé détaillé vous guidera pas à pas dans la résolution de chaque question, renforçant ainsi vos compétences et votre préparation. Idéal pour les révisions du baccalauréat de Première.

Exercice 1 : Étude graphique d'un polynôme du second degré (4 points)

Cet exercice s'appuie sur l'analyse graphique d'une parabole pour en déduire les caractéristiques de la fonction polynôme du second degré qu'elle représente.

• Question 1 : Forme canonique et détermination d'un paramètre.

  Il s'agit ici de reconnaître la forme canonique d'une fonction du second degré, \( f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta \), à partir de son sommet. Le graphique montre clairement un sommet au point de coordonnées \( (\alpha, \beta) = (2, 4) \). L'expression de la fonction devient donc \( f(x) = a(x - 2)^2 + 4 \). Pour déterminer la valeur du coefficient \( a \), il suffit d'utiliser les coordonnées d'un autre point de la courbe, par exemple l'origine \( (0, 0) \). En substituant ces valeurs dans l'équation, on obtient \( 0 = a(0 - 2)^2 + 4 \), ce qui mène à \( 4a + 4 = 0 \), et donc \( a = -1 \). La parabole étant orientée vers le bas, un coefficient \( a \) négatif est cohérent.

• Question 2 : Démonstration du sens de variation.

  Cette question demande une démonstration rigoureuse du sens de variation de la fonction sur l'intervalle \( [2; +\infty[ \), sans utiliser le résultat du cours. Il faut revenir à la définition : on choisit deux réels \( u \) et \( v \) tels que \( 2 \le u < v \) et on étudie le signe de la différence \( f(u) - f(v) \). Avec \( f(x) = -(x-2)^2 + 4 \), on calcule : \( f(u) - f(v) = [-(u-2)^2 + 4] - [-(v-2)^2 + 4] = (v-2)^2 - (u-2)^2 \). En utilisant l'identité remarquable \( A^2 - B^2 = (A-B)(A+B) \), on obtient \( (v-u)(v+u-4) \). Comme \( u < v \), \( v-u > 0 \). Comme \( u \ge 2 \) et \( v > 2 \), \( u+v > 4 \), donc \( v+u-4 > 0 \). Le produit de deux termes positifs est positif, donc \( f(u) - f(v) > 0 \), ce qui signifie \( f(u) > f(v) \). La fonction \( f \) est bien décroissante sur l'intervalle.

Exercice 2 : Analyse algébrique d'un polynôme du second degré (7 points)

Cet exercice se concentre sur la manipulation algébrique d'un polynôme du second degré donné par son expression développée : \( f(x) = 2x^2 - 8x + 6 \).

• Question 1 : Forme factorisée, équation et inéquation.

  On demande d'abord de vérifier la forme factorisée \( f(x) = 2(x - 3)(x - 1) \). Il suffit de développer cette dernière expression pour retomber sur la forme initiale. Ensuite, la résolution de l'équation \( f(x) = 0 \) devient triviale grâce à la forme factorisée : les racines sont \( x=1 \) et \( x=3 \). Pour résoudre l'inéquation \( f(x) > 0 \), on dresse un tableau de signe en utilisant les racines trouvées. Le polynôme est positif à l'extérieur de ses racines, donc pour \( x \in ]-\infty; 1[ \cup ]3; +\infty[ \).

• Question 2 : Forme canonique et tableau de variations.

  La détermination de la forme canonique se fait par la méthode de complétion du carré : \( f(x) = 2(x^2 - 4x) + 6 = 2[(x-2)^2 - 4] + 6 = 2(x-2)^2 - 8 + 6 = 2(x-2)^2 - 2 \). Cette forme nous donne directement le sommet \( (2, -2) \). Le coefficient \( a=2 \) étant positif, la parabole est ouverte vers le haut. Le tableau de variations montre donc que la fonction est décroissante sur \( ]-\infty; 2] \) et croissante sur \( [2; +\infty[ \), avec un minimum de -2 atteint en \( x=2 \).

• Question 3 : Représentation graphique.

  La dernière question est une synthèse. Il faut tracer la courbe en utilisant toutes les informations collectées : le sommet \( (2, -2) \), les points d'intersection avec l'axe des abscisses (les racines \( x=1 \) et \( x=3 \)), et l'allure générale donnée par le tableau de variations.

Exercice 3 : Trigonométrie (9 points)

Ce dernier exercice balaie plusieurs compétences clés du chapitre de trigonométrie, du cercle trigonométrique aux équations.

• Partie A : Bases du cercle trigonométrique.

  Les premières questions sont fondamentales : placer des points sur le cercle trigonométrique correspondant à des angles donnés en radians (\( \frac{5\pi}{6}, -\frac{3\pi}{4} \), etc.) et maîtriser la conversion entre degrés et radians (\( 60^\circ \) en radians, \( \frac{7\pi}{6} \) rad en degrés).

• Partie B : Formules de trigonométrie.

  À partir de la valeur d'un cosinus (\( \cos(x) = \frac{5}{6} \)), on doit retrouver la valeur du sinus correspondant. Pour cela, on utilise la relation fondamentale \( \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \). On en déduit que \( \sin^2(x) = 1 - (\frac{5}{6})^2 = \frac{11}{36} \), soit \( \sin(x) = \pm \frac{\sqrt{11}}{6} \). La question demande ensuite d'appliquer les formules des angles associés pour calculer \( \sin(\pi - x) \) et \( \cos(\frac{\pi}{2} + x) \), qui valent respectivement \( \sin(x) \) et \( -\sin(x) \).

• Partie C : Équations trigonométriques.

  La dernière partie est consacrée à la résolution d'équations trigonométriques. D'abord, résoudre \( \sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) sur un intervalle restreint \( ]-\pi; \pi] \), ce qui demande de trouver les deux solutions \( \frac{\pi}{3} \) et \( \frac{2\pi}{3} \) sur le cercle. Ensuite, résoudre \( \cos(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) dans \( \mathbb{R} \), ce qui implique de donner les solutions générales sous la forme \( \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \) et \( -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi \), avec \( k \in \mathbb{Z} \).