Introduction
Allez, on est parti pour faire le lien entre le sinus et le cosinus. Jusqu'à présent, on a traité les angles, on a traité les relations entre les angles et les valeurs du cosinus et du sinus. Maintenant, on va voir quelle relation existe entre le sinus et le cosinus.
Relation entre le sinus et le cosinus
La seule relation que vous avez, qui vous permet de trouver le sinus quand vous avez le cosinus et inversement, on va l'écrire. Je vais vous montrer comment on va la trouver. Prenons un angle \(x\). Donc, cet angle \(x\) a un côté ici qui correspond à ce rayon, c'est le cosinus, et un signe ici qui correspond à cette longueur, c'est le sinus. Vous noterez que cette longueur, c'est exactement la même que celle-là . À quoi ça vous fait penser ? Si ça vous fait penser à rien, regardez. Là , ça commence à vous dire quelque chose. Je vous rappelle que le cercle trigonométrique a un rayon de 1. On a donc un triangle rectangle où on reconnaît l'hypoténuse, on connaît sa valeur maintenant. Donc, on a clairement \(1^2 = \cos^2(x) + \sin^2(x)\). On a donc la fameuse relation entre les deux.
Application de la relation
On peut apprendre cette relation comme ça, mais on doit aussi la comprendre. Avec \(\cos(x) = \pm \sqrt{1 - \sin^2(x)}\), on peut trouver d'autres versions. Par exemple, on peut trouver \(\sin(x)\) si on connaît \(\cos(x)\). C'est une pratique courante. Pourquoi ? Parce que si on vous donne la valeur de \(\cos(x)\), vous allez pouvoir le remplacer ici et du coup vous vous retrouvez avec \(\sin^2(x)\) tout seul avec des nombres. Du coup, vous êtes capable de trouver \(\sin(x)\).
Pour illustrer cela, je recopie mon équation \(1 = \cos^2(x) + \sin^2(x)\). Sauf que \(\cos^2(x)\) vaut \(\frac{3}{5}\) au carré, donc on a \(1 = \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \sin^2(x)\). On cherche à isoler \(\sin^2(x)\), donc on a \(1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \sin^2(x)\). Cela donne \(\frac{16}{25} = \sin^2(x)\).
Ici, il y a un point important à noter. Beaucoup d'entre vous pourraient penser que si \(\sin^2(x) = \frac{16}{25}\), alors \(\sin(x) = \sqrt{\frac{16}{25}}\), donc \(\sin(x) = \frac{4}{5}\). C'est un réflexe que vous avez, sauf que n'oubliez jamais que quand vous avez quelque chose au carré qui vaut \(\frac{16}{25}\), votre "quelque chose" vaut \(\pm \sqrt{\frac{16}{25}}\). Donc, en réalité, \(\sin(x) = \pm \frac{4}{5}\).
Conclusion
Pour résumer, quand on a une relation et qu'on veut faire le lien entre le sinus et le cosinus, on utilise cette propriété pour trouver les deux valeurs possibles du sinus. Ensuite, on regarde l'intervalle dans lequel se trouve l'angle pour déterminer le signe du sinus. C'est à vous de jouer maintenant.