Découvrez ce sujet de contrôle de mathématiques de niveau Première spécialité, d'une durée de 2 heures, portant sur deux chapitres fondamentaux du programme : les polynômes du second degré et les généralités sur les suites numériques. Ce sujet, avec calculatrice autorisée, est un excellent outil de révision et d'évaluation des compétences clés. Il balaye une large gamme de savoir-faire, de la résolution d'équations et inéquations à la modélisation de problèmes, en passant par l'étude des différentes formes d'un polynôme et les bases des suites. Ce contrôle corrigé est idéal pour s'entraîner en conditions réelles et consolider ses acquis.
Exercice 1 : Étude d'un polynôme de degré 3
Cet exercice aborde un polynôme du troisième degré, \( f(x) = -2x^3 + 5x^2 + 28x - 15 \), mais le ramène habilement à l'étude d'un produit de facteurs du premier et du second degré. Les questions sont progressives :
- Calculer une image simple, \( f(-1) \), pour se familiariser avec la fonction.
- Démontrer une factorisation clé : \( f(x) = (5 - x)(2x^2 + 5x - 3) \). Cette étape est cruciale car elle transforme le problème en une forme plus simple à analyser.
- Résoudre l'inéquation \( f(x) \leq 0 \). Cette question nécessite de construire un tableau de signe en étudiant le signe de chaque facteur. Il faut donc trouver les racines du trinôme \( 2x^2 + 5x - 3 \) en utilisant le discriminant.
Les compétences évaluées ici sont la manipulation des expressions polynomiales, la résolution d'équations du second degré et la maîtrise des tableaux de signe pour les inéquations produit.
Exercice 2 : Équation du second degré avec paramètre
Cet exercice introduit la notion de paramètre dans une équation du second degré, \( mx^2 + (3m - 2)x + (m + 7) = 0 \), où \( m \) est un réel. L'objectif est d'analyser le comportement de l'équation en fonction de la valeur de \( m \).
- Résolution pour \( m=0 \): le cas où l'équation n'est plus du second degré mais devient une équation linéaire.
- Résolution pour une valeur non nulle de \( m \) (\( m=-1 \)): un cas d'application directe de la méthode du discriminant.
- Expression du discriminant \( \Delta \) en fonction de \( m \) pour le cas général \( m \neq 0 \). Cela prépare à des discussions plus avancées sur le nombre de solutions selon le signe de \( \Delta(m) \).
Exercice 3 : Modélisation d'un problème géométrique
Un problème concret de géométrie sert de prétexte à la mise en équation. Une baguette de 10 cm est coupée en deux morceaux, \( x \) et \( 10-x \), qui deviennent les côtés d'un rectangle d'aire 20 cm². Il s'agit d'un classique de la modélisation par une équation du second degré.
- Définir l'intervalle de variation pour \( x \), la longueur du plus petit morceau.
- Traduire la contrainte sur l'aire en une équation : \( x(10-x) = 20 \), qui se réécrit \( x^2 - 10x + 20 = 0 \). La résolution de cette équation donne la valeur de \( x \) recherchée.
Exercice 4 : Les trois formes d'un polynôme du second degré
Cet exercice est une étude complète d'une fonction polynôme du second degré \( f(x) = -x^2 - 2x + 8 \). Il met en lumière l'utilité de ses différentes écritures : développée, canonique et factorisée.
- Écriture de la forme canonique \( f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta \), qui permet de déterminer immédiatement l'extremum de la parabole.
- Justification de la forme factorisée \( f(x) = (2-x)(x+4) \), utile pour trouver les racines et étudier le signe.
- Application : choisir la forme la plus adaptée pour effectuer diverses tâches (calcul d'images, résolution d'équations et d'inéquations, justification d'un maximum), démontrant ainsi une compréhension profonde des propriétés de chaque forme. Par exemple, la forme canonique est idéale pour prouver que \( f(x) \leq 9 \).
Exercice 5 : Généralités sur les suites
La seconde partie du contrôle aborde les suites numériques avec des questions introductives sur deux suites définies de manière explicite : \( u_n = 2 - \frac{4}{n} \) et \( v_n = -2n + 5 \) (qui est une suite arithmétique).
- Calcul des termes de rang 8 pour chaque suite.
- Manipulation de l'expression de \( u_n \) pour trouver \( u_{n+1} \).
- Résolution d'une inéquation simple \( v_n < -8 \) pour déterminer à partir de quel rang la suite passe sous un certain seuil.
Exercice 6 : Vrai ou Faux théorique
Une question de type Vrai ou Faux qui teste la compréhension théorique des racines d'un polynôme du second degré. L'affirmation : "Si \( a \) et \( c \) dans \( f(x) = ax^2+bx+c \) sont de signes opposés, alors \( f \) admet au moins une racine réelle." La justification repose sur l'analyse du signe du discriminant \( \Delta = b^2 - 4ac \), montrant que si \( ac < 0 \), alors \( \Delta > 0 \) nécessairement.
Exercice 7 : Équation bicarrée
Le dernier exercice introduit une technique de résolution spécifique pour les équations bicarrées (polynômes de degré 4 sans termes de degré impair) : \( 4x^4 + 19x^2 - 5 = 0 \).
- On résout d'abord une équation du second degré auxiliaire \( 4X^2 + 19X - 5 = 0 \).
- On effectue ensuite un changement de variable en posant \( X = x^2 \). Les solutions positives en \( X \) permettent de trouver les quatre solutions réelles de l'équation initiale en résolvant \( x^2 = X \).
Ce sujet de maths est un excellent entraînement pour le baccalauréat de Première spécialité.