Analyse du sujet de mathématiques – Première Spécialité

Ce contrôle de mathématiques, destiné aux élèves de Première spécialité, porte sur les chapitres des généralités sur les suites numériques et la dérivation globale. D'une durée d'1h30, ce sujet évalue la capacité des élèves à manipuler différents types de suites, à utiliser l'algorithmique et à faire le lien entre l'étude de fonctions et le comportement des suites. Retrouvez ici une analyse détaillée de chaque exercice de ce sujet, avec des explications sur les méthodes et les savoir-faire requis. Ce corrigé est une ressource idéale pour s'entraîner et réviser avant une évaluation.

Exercice 1 : Étude de deux suites numériques

Cet exercice se divise en deux parties, chacune portant sur un type de suite différent, permettant de tester des compétences fondamentales sur les suites.

• Partie 1 : Suite géométrique. On étudie la suite \((v_n)\) définie explicitement par \(v_n = 1,2^n\). Il est demandé de calculer les premiers termes, puis de démontrer qu'elle est géométrique en montrant que \(v_{n+1} = 1,2 \cdot v_n\). Enfin, il faut en déduire son sens de variation, ce qui se fait en analysant la valeur de la raison (ici \(q = 1,2 > 1\)) et le signe du premier terme \(v_0\).
• Partie 2 : Suite définie par une formule explicite. On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_n = -2 - 3n^2\). Après le calcul des premiers termes, la question clé est de déterminer son sens de variation. La méthode à employer est l'étude du signe de la différence \(u_{n+1} - u_n\). Le calcul mène à \(u_{n+1} - u_n = -6n - 3\), une expression dont le signe est clairement négatif pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), indiquant que la suite est décroissante.

Exercice 2 : Suite récurrente et recherche de seuil

Cet exercice se concentre sur une suite définie par une relation de récurrence : \(u_1 = 1\) et \(u_{n+1} = u_n + \frac{2}{n}\) pour \(n \ge 1\). Les questions visent à évaluer la compréhension de ce type de définition.

1. Calcul des termes : Il faut calculer \(u_2\) et \(u_3\) pas à pas à partir de \(u_1\).
2. Sens de variation : La monotonie de la suite est étudiée via la différence \(u_{n+1} - u_n\). Ici, cette différence est égale à \(\frac{2}{n}\), qui est strictement positive pour \(n \ge 1\), ce qui prouve que la suite \((u_n)\) est strictement croissante.
3. Recherche de seuil : La dernière question demande de trouver le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n > 7\). Cette question, de nature algorithmique, nécessite de calculer les termes successifs de la suite jusqu'à ce que la condition soit remplie, en utilisant la calculatrice.

Exercice 3 : Algorithmique Python et suites

Cet exercice aborde la traduction d'une suite récurrente en langage informatique. La suite étudiée est \((u_n)\) définie par \(u_0 = 3\) et \(u_{n+1} = 3u_n - 4\) (suite arithmético-géométrique).

• La première question, très directe, demande de reconnaître que la suite est définie par récurrence.
• Le cœur de l'exercice est de compléter une fonction Python qui calcule le terme de rang \(n\). Il faut initialiser la variable `u` à la valeur de \(u_0\) (c'est-à-dire 3) et, dans la boucle, mettre à jour `u` en utilisant la relation de récurrence `u = 3*u - 4`.
• La dernière question est une application simple : pour calculer \(u_5\), il suffit de saisir l'instruction `terme(5)`.

Exercice 4 : Lien entre étude de fonction et sens de variation d'une suite

Cet exercice phare fait le pont entre deux grands chapitres du programme de Première : la dérivation et les suites. On part de la fonction \(f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x + 5\).

1. Calcul de la dérivée : La première étape consiste à calculer la dérivée \(f'(x)\), qui est une fonction polynôme du second degré : \(f'(x) = x^2 + 2x - 3\).
2. Étude du signe de la dérivée : Pour connaître les variations de \(f\), il faut étudier le signe de \(f'(x)\). Cela implique de trouver les racines du trinôme (ici -3 et 1) et d'appliquer la règle du signe d'un polynôme du second degré.
3. Tableau de variations : À partir du signe de \(f'(x)\), on dresse le tableau de variations complet de la fonction \(f\).
4. Application aux suites : La question finale introduit la suite \((u_n)\) définie par \(u_n = f(n)\). Le sens de variation de cette suite pour \(n \ge 1\) est directement lié aux variations de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([1, +\infty)\). Comme \(f\) est croissante sur cet intervalle (car sa dérivée y est positive), on en conclut que la suite \((u_n)\) est croissante à partir du rang 1.