Obtenez une analyse détaillée et le corrigé complet de ce sujet de Bac Blanc de mathématiques pour la Première spécialité. Ce contrôle, d'une durée de 2 heures et sans calculatrice, est une excellente ressource pour s'entraîner dans les conditions de l'examen. Il couvre des chapitres essentiels du programme : les automatismes, les suites arithmétiques et géométriques, les probabilités conditionnelles et la dérivation globale de fonctions. Idéal pour les élèves visant à consolider leurs bases et à maîtriser des concepts clés avant l'épreuve finale.
Ce document est un outil pédagogique précieux, offrant un aperçu des compétences attendues et des types de problèmes que vous pourriez rencontrer. Chaque exercice est analysé pour vous aider à comprendre les méthodes de résolution et à identifier les points importants du cours.
Première partie : Automatismes (QCM)
Cette section évalue la maîtrise des savoir-faire de base à travers un QCM de 10 questions. L'objectif est de répondre rapidement et précisément, sans justification. Les thèmes abordés sont variés :
- Calculs algébriques : Simplification d'expressions fractionnaires comme \( \frac{1}{4} - \frac{2x + 2}{x} \) et évaluation d'expressions numériques.
- Polynômes du second degré : Résolution d'une équation du type \( -9x^2 + 7x + 3 = 3 \), qui se ramène à une équation produit nul. Établissement du tableau de signes d'une fonction polynomiale donnée sous forme factorisée \( f(x) = (3x-30)(-3x-6) \).
- Fractions et puissances : Résolution d'un problème concret avec des fractions et simplification d'expressions avec des puissances comme \( N = \frac{15^5}{5^3} \).
- Pourcentages et évolutions : Calcul du coefficient multiplicateur pour un taux d'évolution réciproque et détermination du taux d'évolution global après des évolutions successives (une baisse de 40% suivie d'une hausse de 50%).
- Statistiques : Comparaison de la moyenne et de la médiane de deux petites séries de données.
- Probabilités : Lecture d'un arbre de probabilités pour en déduire une probabilité conditionnelle \( P_{\bar{A}}(C) \) à partir de \( P(\bar{A} \cap C) \) et \( P(\bar{A}) \).
Exercice 1 : Suites et Probabilités
Cet exercice est divisé en deux parties indépendantes, l'une portant sur les suites numériques et l'autre sur les probabilités conditionnelles, deux piliers du programme de Première.
Partie A : Suites géométriques
Cette partie modélise la consommation mondiale de pétrole à l'aide d'une suite géométrique. Partant d'une consommation de 36 milliards de barils en 2017 (\( u_0 = 36 \)) avec une augmentation annuelle de 1,8%, l'exercice guide l'élève à travers les étapes suivantes :
- Exprimer \( u_{n+1} \) en fonction de \( u_n \), ce qui mène à la relation \( u_{n+1} = 1,018 u_n \).
- Identifier la nature de la suite (géométrique), son premier terme et sa raison.
- Déterminer l'expression explicite de la suite : \( u_n = 36 \times 1,018^n \).
- Calculer des termes spécifiques et la somme des premiers termes (\( S_{10} = u_0 + \dots + u_{10} \)) en s'aidant d'un tableau fourni, et interpréter ces résultats dans le contexte du problème.
- Résoudre un problème de seuil : déterminer l'année à partir de laquelle la quantité totale de pétrole consommée dépassera les réserves disponibles, en utilisant la somme des termes de la suite.
Partie B : Probabilités Conditionnelles
Basée sur une enquête de satisfaction auprès des automobilistes, cette partie est un cas d'application classique des probabilités conditionnelles. Les événements étudiés sont \(E\) : "l'automobiliste possède un véhicule électrique" et \(S\) : "l'automobiliste est satisfait".
- Traduction de l'énoncé : La première étape consiste à extraire les données probabilistes de l'énoncé : \( P(E) = 0,02 \), \( P_E(S) = 0,98 \) et \( P_{\bar{E}}(S) = 0,40 \).
- Arbre pondéré : L'élève doit construire un arbre de probabilités pour représenter la situation, ce qui est essentiel pour structurer le raisonnement.
- Probabilités totales : Il faut ensuite utiliser la formule des probabilités totales pour calculer la probabilité d'être satisfait, \( P(S) = P(E \cap S) + P(\bar{E} \cap S) \).
- Probabilité inverse : La dernière question demande de calculer \( P_S(E) \), c'est-à-dire la probabilité qu'un automobiliste soit propriétaire d'un véhicule électrique sachant qu'il est satisfait. C'est une application directe de la définition des probabilités conditionnelles.
Exercice 2 : Dérivation globale et étude de fonction
Ce dernier exercice est une étude de fonction complète, un incontournable de l'analyse en Première. Il est structuré en deux parties pour guider l'élève dans l'étude de la fonction \( f(x) = \frac{x^3-2}{x+4} \).
Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire
Une fonction auxiliaire \( g(x) = 2x^3 + 12x^2 + 2 \) est introduite pour simplifier l'étude du signe de la dérivée de \( f \).
- On calcule la dérivée \( g'(x) = 6x^2 + 24x \).
- On étudie le signe de \( g'(x) \) pour déterminer les variations de \( g \).
- En calculant le minimum de la fonction \( g \), on démontre que \( g(x) > 0 \) sur l'intervalle d'étude, une information cruciale pour la suite.
Partie B : Étude de la fonction principale \(f\)
- Calcul de la dérivée : L'élève doit dériver la fonction \( f \), qui est un quotient, et montrer que \( f'(x) = \frac{g(x)}{(x+4)^2} \).
- Équation de la tangente : On demande de déterminer l'équation de la tangente à la courbe de \( f \) au point d'abscisse 0, en utilisant la formule \( y = f'(a)(x-a) + f(a) \).
- Tableau de variations : Grâce au signe de \( g(x) \) établi en partie A, on peut déduire le signe de \( f'(x) \) et ainsi dresser le tableau de variations complet de \( f \).
- Tangentes horizontales : La dernière question interroge sur l'existence de tangentes horizontales, ce qui revient à chercher les solutions de l'équation \( f'(x) = 0 \).
Ce sujet de bac blanc est donc très complet et constitue une excellente préparation. Il balaye les compétences d'algèbre, d'analyse et de probabilités indispensables pour réussir en spécialité mathématiques.