Analyse du sujet de mathématiques - Première Spécialité

Ce contrôle de mathématiques pour le niveau Première spécialité est un sujet complet portant sur le chapitre des suites numériques. Il évalue en profondeur la maîtrise des suites arithmétiques, géométriques, et arithmético-géométriques, en y intégrant de la modélisation et de l'algorithmique en Python. C'est un excellent sujet de révision pour les élèves visant à consolider leurs bases sur les suites.

Exercice 1 : Maîtrise de la suite arithmétique

Cet exercice est un classique sur les suites arithmétiques. Il s'assure que les définitions et les formules de base sont bien acquises. Les questions sont les suivantes :

• 1. Déterminer la raison et le premier terme : En partant de deux termes de la suite, \( V_3 = 22 \) et \( V_{18} = 97 \), il faut retrouver la raison \( r \) et le terme initial \( V_0 \). Cela revient à résoudre un système de deux équations à deux inconnues, en utilisant la formule du terme général \( V_n = V_p + (n-p)r \).
• 2. Calculer une somme de termes : Il est demandé de calculer la somme \( S = V_2 + V_3 + V_4 + \dots + V_{100} \). Pour cela, l'application de la formule de la somme des termes d'une suite arithmétique est indispensable : \( S = \text{nombre de termes} \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2} \).

Exercice 2 : Étude d'une suite

L'exercice 2 se concentre sur l'étude complète d'une suite définie de manière explicite, \( U_n = 4 - 0,5^n \). Cette suite n'est ni arithmétique ni géométrique, mais son comportement est directement lié à celui de la suite géométrique \( (0,5^n) \).

• 1. Étudier le sens de variation : Pour déterminer si la suite \( (U_n) \) est croissante ou décroissante, il faut étudier le signe de la différence \( U_{n+1} - U_n \). Ce calcul permet de démontrer la monotonie de la suite.
• 2. Déterminer la limite : Le calcul de la limite de \( (U_n) \) lorsque \( n \) tend vers \( +\infty \) repose sur la connaissance de la limite d'une suite géométrique de raison \( q \) avec \( |q| < 1 \). Ici, \( \lim_{n \to \infty} 0,5^n = 0 \), ce qui permet de conclure facilement sur la limite de \( U_n \).

Exercice 3 : Problème de modélisation avec une suite géométrique et Python

Cet exercice est un problème complet qui mêle modélisation, suite géométrique et programmation en Python. Il porte sur l'évolution des ventes d'un journal.

• 1 & 2. Modélisation : À partir d'un contexte de ventes initiales \( U_0 = 1200 \) et d'une augmentation hebdomadaire de 2%, il faut d'abord calculer \( U_1 \) puis établir l'expression explicite de \( U_n \) en fonction de \( n \). Il s'agit de reconnaître une suite géométrique de raison \( q = 1,02 \).
• 3. Résolution d'inéquation : La question demande de trouver à partir de quand les ventes dépasseront un certain seuil (1500 journaux). Cela conduit à résoudre l'inéquation \( U_n > 1500 \), ce qui peut se faire à l'aide de la calculatrice ou des logarithmes.
• 4. Algorithmique Python : Une partie importante de l'exercice est consacrée à l'analyse et à la création de code Python. Un script avec une boucle `while` est donné, dont il faut déterminer et interpréter la sortie. Il est ensuite demandé de transformer ce script en une fonction paramétrée, un savoir-faire essentiel en programmation.
• 5. Somme des termes : La dernière question aborde le calcul du nombre total de journaux vendus, ce qui correspond à la somme des termes \( S_n = U_0 + U_1 + \dots + U_n \). Il faut d'abord démontrer la formule de la somme des termes d'une suite géométrique puis l'appliquer pour un cas concret (52 semaines).

Exercice 4 : Problème avec une suite arithmético-géométrique

Le dernier exercice est un autre problème de modélisation, mais il introduit une suite arithmético-géométrique, un type de suite classique en Première. Le contexte est celui des inscriptions à un service périscolaire.

• 1 & 2. Mise en place du modèle : Il s'agit de traduire l'énoncé (80% de réinscriptions et 40 nouvelles inscriptions) par une relation de récurrence de la forme \( U_{n+1} = aU_n + b \), ici \( U_{n+1} = 0,8 U_n + 40 \).
• 3. Étude d'une suite auxiliaire : Pour trouver la forme explicite de \( (U_n) \), la méthode consiste à introduire une suite auxiliaire \( (V_n) \) définie par \( V_n = U_n - \alpha \). On doit prouver que \( (V_n) \) est une suite géométrique, trouver sa raison et son premier terme. Cela permet ensuite d'exprimer \( V_n \) en fonction de \( n \), puis \( U_n \) en fonction de \( n \). La formule finale est de la forme \( U_n = 200 - 50 \times 0,8^n \).
• 4. Programmation Python : Deux fonctions Python sont à créer : une pour calculer un terme de rang \( N \) et une autre pour trouver le premier rang \( n \) pour lequel la suite dépasse un seuil (seuil de 190).
• 5. Résolution et interprétation : L'exercice se termine par la résolution calculatoire de l'inéquation \( U_n > 190 \) et l'interprétation du résultat dans le contexte du problème, c'est-à-dire déterminer l'année à partir de laquelle la capacité d'accueil sera dépassée.

En conclusion, ce sujet de maths de première est très complet, il couvre l'ensemble du chapitre sur les suites et constitue un excellent entraînement pour les évaluations. Retrouvez le contrôle corrigé pour vous aider dans vos révisions.