Analyse du Contrôle de Maths sur les Intégrales (Terminale STI2D)

Ce sujet de contrôle de mathématiques pour les élèves de Terminale STI2D est centré sur le chapitre de l'intégration. D'une durée d'une heure, il évalue la capacité des élèves à manipuler les concepts fondamentaux des primitives et des intégrales, tant sur le plan du calcul pur que dans le cadre d'un problème concret. Les compétences testées incluent le calcul de primitives de fonctions usuelles (polynômes, inverse, cosinus, exponentielle), le calcul d'intégrales définies, les propriétés de l'intégrale (linéarité, relation de Chasles), l'application de la formule de la valeur moyenne d'une fonction, et l'interprétation géométrique de l'intégrale en termes d'aire. Ce contrôle corrigé est un excellent outil de révision pour maîtriser ces notions essentielles.

Exercice 1 : Primitives usuelles et propriétés de l'intégrale (7 points)

Ce premier exercice est technique et se concentre sur le calcul direct de différentes intégrales, à donner en valeur exacte. Les questions sont indépendantes : elles balayent les types de fonctions vus en cours et vérifient la maîtrise des primitives usuelles, des propriétés de l'intégrale et de son interprétation géométrique.

• Question 1 : Calcul de l'intégrale d'une fonction affine, \(\int_0^3 (2x+1) \, dx = 12\). Une double approche est demandée : d'abord par le calcul d'une primitive, puis par l'aire d'un trapèze de bases 1 et 7 et de hauteur 3, reliant ainsi l'analyse à la géométrie.
• Question 2 : Calcul de \(\int_1^4 \frac{2}{x} \, dx\), qui fait intervenir le logarithme népérien comme primitive de la fonction inverse. Le résultat s'écrit \(4\ln 2\).
• Question 3 : Calcul de \(\int_0^{\pi/4} 2\cos(2x) \, dx = 1\), où l'on reconnaît une fonction de la forme \(u'\cos(u)\), qui admet pour primitive \(x \mapsto \sin(2x)\).
• Question 4 : Calcul de \(\int_0^{10} e^{-0{,}2x} \, dx\). On évalue ici la capacité à trouver la primitive d'une fonction exponentielle de la forme \(e^{ax+b}\) ; la valeur exacte est \(5 - 5e^{-2} \approx 4{,}323\).
• Question 5 : À partir de trois intégrales données, on calcule trois nouvelles intégrales en citant à chaque fois la propriété utilisée : la relation de Chasles, la linéarité de l'intégrale et l'inversion des bornes.
• Question 6 : Cette question porte sur la notion de valeur moyenne, pour la fonction \(x \mapsto 3x^2\) sur l'intervalle \([0 ; 2]\) : elle vaut 4. L'interprétation demandée à l'aide d'un rectangle permet de visualiser ce concept : l'aire sous la courbe est égale à l'aire d'un rectangle de même base et de hauteur la valeur moyenne de la fonction.

Exercice 2 : Deux documents sur le vent d'un site éolien (7 points)

Cet exercice met en application les outils de l'intégration dans un contexte de modélisation physique, en confrontant deux documents sur un même site éolien. Le relevé de l'anémomètre modélise la vitesse du vent sur une période de 8 heures par une fonction sinusoïdale : \(v(t) = 5 + 2\sin\left(\frac{\pi}{8}t\right)\). La note du bureau d'études affirme, elle, que la vitesse moyenne est de 5 m/s et que l'éolienne n'atteindra jamais sa puissance nominale, qui exige plus de 6,5 m/s.

• Question 1 : Une question d'entrée en matière qui demande de vérifier les valeurs exactes de la vitesse au début, au milieu et à la fin de l'observation : \(v(0) = 5\), \(v(4) = 7\) et \(v(8) = 5\).
• Question 2 : Le cœur calculatoire de l'exercice. Une primitive \(F(t) = 5t - \frac{16}{\pi}\cos\left(\frac{\pi}{8}t\right)\) de la fonction vitesse est donnée, et l'on calcule \[ \int_0^8 v(t) \, dt = F(8) - F(0) = 40 + \frac{32}{\pi} \]
• Question 3 : On en déduit la vitesse moyenne réelle du vent, en mobilisant la formule de la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle \([a ; b]\) : \[ \mu = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx \] On obtient \(5 + \frac{4}{\pi} \approx 6{,}27\) m/s. La première phrase de la note n'est donc pas recevable : l'erreur consiste à moyenner les deux valeurs aux bornes au lieu de moyenner la fonction sur tout l'intervalle.
• Question 4 : Cette question teste l'esprit critique. Le relevé donne \(v(4) = 7\) m/s, au-dessus de 6,5 m/s : l'éolienne atteint donc sa puissance nominale au milieu de la période. Même la vraie moyenne, inférieure à 6,5 m/s, ne permettait pas de conclure, car une fonction peut dépasser sa valeur moyenne.

Exercice 3 : Une aire nulle sous le cosinus ? (6 points)

Le dernier exercice, guidé pas à pas, porte sur un piège classique : la différence entre intégrale et aire lorsqu'une fonction change de signe. On étudie le domaine compris entre la courbe de la fonction cosinus, l'axe des abscisses et les droites d'équations \(x = 0\) et \(x = \pi\).

• Question 1 : Le calcul de \(I = \int_0^{\pi} \cos(x) \, dx\) donne \(\sin(\pi) - \sin(0) = 0\).
• Question 2 : Un élève en conclut que l'aire du domaine est nulle. L'étude du signe du cosinus, positif sur \(\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\) et négatif sur \(\left[\frac{\pi}{2} ; \pi\right]\), montre l'erreur : l'intégrale n'est égale à l'aire sous la courbe que pour une fonction positive, et les deux arches se compensent dans l'intégrale.
• Question 3 : À l'aide de la relation de Chasles, on découpe l'intervalle en \(\frac{\pi}{2}\) et l'on prend l'opposé de l'intégrale sur la partie où le cosinus est négatif : l'aire du domaine vaut \(1 - (-1) = 2\) unités d'aire.
• Question 4 : La valeur moyenne du cosinus sur \([0 ; \pi]\) est nulle, alors que la fonction ne l'est pas, puisque \(\cos(0) = 1\). Une valeur moyenne nulle signifie seulement que les valeurs positives et négatives se compensent.