Découvrez ce sujet de contrôle de mathématiques de niveau Terminale STI2D, accompagné de son corrigé détaillé, portant sur les chapitres essentiels de la composition de fonctions et de la fonction inverse. Ce devoir de 2 heures, avec calculatrice autorisée, est un excellent outil de révision pour les élèves souhaitant maîtriser l'étude de fonctions complexes et leurs applications concrètes.

Ce contrôle est structuré en deux exercices principaux qui balayent des compétences clés du programme : le calcul de dérivées (produit, composée), le comportement de l'inverse d'un nombre très petit ou très grand, l'établissement de tableaux de variation, la recherche d'extremums et la résolution de problèmes d'optimisation.

Exercice 1 : QCM (6 points)

Ce premier exercice est un QCM de quatre questions qui mobilise à la fois la composition de fonctions et la fonction inverse. Une seule proposition est exacte, et chaque choix doit être justifié : une réponse sans explication ne rapporte aucun point. Les propositions fausses reprennent les erreurs les plus fréquentes.

• Question 1 : Dérivée de l'inverse d'une fonction. Pour \(f(x) = \frac{1}{x^2+1}\), on reconnaît la composée de \(u(x) = x^2 + 1\) suivie de la fonction inverse, d'où \(f'(x) = -\frac{2x}{(x^2+1)^2}\). Les pièges : oublier le facteur \(u'(x) = 2x\), le signe moins ou le carré au dénominateur.
• Question 2 : Inverse d'un nombre très petit. Lorsque \(x\), strictement supérieur à 3, devient très proche de 3, le nombre \(\frac{1}{(x-3)^2}\) devient très grand : l'inverse d'un très petit nombre positif est un très grand nombre.
• Question 3 : Inverse d'un nombre très grand. Pour \(g(x) = 5 + \frac{2}{x+1}\), le terme \(\frac{2}{x+1}\) devient très proche de 0 lorsque \(x\) devient très grand : \(g(x)\) se rapproche de 5, par exemple \(g(999) = 5{,}002\).
• Question 4 : Une composée trigonométrique. Pour \(k(x) = \sin\left(\frac{1}{x}\right)\), la formule de dérivation d'une composée donne \(k'(x) = -\frac{1}{x^2}\cos\left(\frac{1}{x}\right)\) ; l'erreur classique consiste à placer \(u'\) à l'intérieur du cosinus.

Exercice 2 : Quelle charge pour tirer le plus de puissance ? (14 points)

Cet exercice complet est une application directe de l'étude de fonctions à un problème de physique. Une source de tension continue (\(U = 12\) V, résistance interne \(r = 3\) Ω) alimente une charge réglable de résistance \(x\), représentée sur un schéma électrique. Il s'agit d'optimiser la puissance reçue par la charge, puis de la confronter au rendement.

L'exercice est divisé en trois parties progressives :

• Partie A : Construire le modèle (4 points). À partir des relations \(I = \frac{U}{x+r}\) et \(P = x \times I^2\), l'élève établit l'expression de la puissance : \(P(x) = \frac{144x}{(x+3)^2}\) pour \(x > 0\). Il calcule ensuite \(P(1) = 9\) W, \(P(3) = 12\) W et \(P(9) = 9\) W, et utilise ces valeurs pour réfuter l'affirmation d'un technicien selon laquelle la puissance augmente avec la résistance, testant ainsi la capacité à interpréter des valeurs numériques dans un contexte donné.
• Partie B : Chercher la puissance maximale (6 points). C'est le cœur de l'exercice. L'élève est guidé pour mener une étude de fonction complète :
  • Calcul de la dérivée de la composée \(x \mapsto (x+3)^{-2}\), qui vaut \(-\frac{2}{(x+3)^3}\).
  • Calcul de la dérivée de \(P(x) = 144x \times (x+3)^{-2}\) par la règle de dérivation d'un produit, pour montrer que \(P'(x) = \frac{144(3-x)}{(x+3)^3}\).
  • Analyse du signe de la dérivée, qui est celui de \(3 - x\), et construction du tableau de variation de \(P\) sur \(]0; +\infty[\).
  • Détermination de la valeur qui maximise la puissance : \(x = 3\) Ω, pour une puissance maximale de 12 W. On remarque que la charge optimale est égale à la résistance interne de la source.
• Partie C : Puissance ou rendement ? (4 points). Cette partie confronte la puissance au rendement \(\eta(x)\), quotient de la puissance reçue par la puissance fournie par la source. L'élève montre que \(\eta(x) = \frac{x}{x+3} = 1 - \frac{3}{x+3}\), calcule \(\eta'(x) = \frac{3}{(x+3)^2}\) pour en déduire que le rendement est croissant, et constate qu'il devient très proche de 100 % lorsque \(x\) devient très grand, sans jamais l'atteindre. À la puissance maximale, le rendement n'est que de 50 %. Pour atteindre un rendement de 90 %, il faut une charge d'au moins 27 Ω, qui ne reçoit plus que 4,32 W : on ne peut pas avoir à la fois la puissance maximale et un bon rendement.

En conclusion, ce contrôle est un excellent entraînement pour les élèves de Terminale STI2D. Il couvre de manière approfondie l'analyse de fonctions rationnelles et de fonctions impliquant des puissances, en mettant l'accent sur les applications pratiques, un aspect fondamental de la filière STI2D.