Contrôle corrigé de mathématiques : Suites arithmétiques et géométriques (Terminale STI2D)

Ce sujet de contrôle, destiné aux élèves de Terminale STI2D, porte sur le chapitre des suites numériques. D'une durée de 50 minutes, il balaye les compétences essentielles sur les suites arithmétiques et géométriques, incluant les suites arithmético-géométriques et leur limite. Ce corrigé détaillé vous permettra de vous auto-évaluer et de comprendre les méthodes de résolution pas à pas. Mots clés : sujet de maths, contrôle corrigé, Terminale STI2D, suites arithmétiques, suites géométriques, limites de suites, bac STI2D.

Exercice 1 : Suites arithmétique et récurrente

Cet exercice de base teste votre capacité à manipuler deux types de suites. La première partie concerne une suite définie par une relation de récurrence, tandis que la seconde se concentre sur la démonstration de la nature arithmétique d'une suite.

• Question 1 : On vous donne une suite (u_n) définie par u_0 = 1 et u_{n+1} = 2u_n + 1. Il s'agit de calculer les premiers termes u_1, u_2, u_3. C'est une application directe de la formule de récurrence :
  • u_1 = 2u_0 + 1 = 2(1) + 1 = 3
  • u_2 = 2u_1 + 1 = 2(3) + 1 = 7
  • u_3 = 2u_2 + 1 = 2(7) + 1 = 15
• Question 2 : On introduit une seconde suite (v_n), cette fois définie de manière explicite par v_n = 2n + 5.
  • a. Le calcul des premiers termes v_0, v_1, v_2 est immédiat en remplaçant n par 0, 1 et 2.
  • b. Pour exprimer v_{n+1}, il suffit de remplacer n par n+1 dans la formule, ce qui donne v_{n+1} = 2(n+1) + 5 = 2n + 7.
  • c. La compétence clé ici est de démontrer qu'une suite est arithmétique. Pour cela, on calcule la différence v_{n+1} - v_n. Si le résultat est une constante, la suite est arithmétique et cette constante est sa raison. Ici, (2n + 7) - (2n + 5) = 2. La suite (v_n) est donc arithmétique de raison r=2 et de premier terme v_0 = 5.

Exercice 2 : Sens de variation des suites

Cet exercice évalue votre capacité à déterminer si une suite est croissante ou décroissante. Deux méthodes principales sont possibles : étudier le signe de la différence u_{n+1} - u_n ou, pour les suites géométriques, comparer la raison à 1.

• Suite 1 : a_n = n^2 + 4n. Pour étudier son sens de variation, on calcule a_{n+1} - a_n :
  a_{n+1} - a_n = ((n+1)^2 + 4(n+1)) - (n^2 + 4n) = (n^2 + 2n + 1 + 4n + 4) - (n^2 + 4n) = 2n + 5.
  Comme n \in \mathbb{N}, 2n + 5 est toujours positif. Donc, a_{n+1} - a_n > 0, ce qui signifie que la suite (a_n) est strictement croissante.
• Suite 2 : b_n = (1/3)^n. On reconnaît une suite géométrique de raison q = 1/3. Comme 0 < q < 1, la suite est strictement décroissante.

Exercice 3 : Application directe sur les suites arithmétiques

Cet exercice est une application directe des formules fondamentales des suites arithmétiques : la forme explicite et la somme des termes.

• Question 1 : On demande la forme explicite de la suite arithmétique (w_n) avec w_0 = 5 et r = 2. La formule du cours est w_n = w_0 + nr, ce qui donne directement w_n = 5 + 2n.
• Question 2 : Pour calculer w_{10}, on utilise la formule trouvée : w_{10} = 5 + 2 \times 10 = 25.
• Question 3 : Le calcul de la somme S = w_0 + w_1 + \dots + w_{10} fait appel à la formule de la somme des termes d'une suite arithmétique :
  S = (\text{nombre de termes}) \times \frac{(\text{premier terme} + \text{dernier terme})}{2}
  Il y a 11 termes (de 0 à 10). Donc, S = 11 \times \frac{(w_0 + w_{10})}{2} = 11 \times \frac{(5 + 25)}{2} = 11 \times 15 = 165.

Exercice 4 : Problème concret de forage

Ce problème de modélisation est un classique d'application des suites. Il s'agit de trouver une suite dans un problème et d'utiliser ses propriétés pour répondre à des questions concrètes.

• Question 1 : L'énoncé décrit un coût qui augmente d'une valeur fixe (200 euros) à chaque étape. C'est la définition même d'une suite arithmétique. Le premier terme est le coût du premier mètre, soit u_0 = 1000, et la raison est l'augmentation constante, r = 200. L'expression générale est donc u_n = 1000 + 200n.
• Question 2 : Le coût du 15ème mètre correspond au terme u_{14} (car la numérotation commence à n=0 pour le 1er mètre). On calcule u_{14} = 1000 + 200 \times 14 = 3800 euros.
• Question 3 : On cherche le rang n pour lequel le coût u_n atteint 5000 euros. Il faut résoudre l'équation du premier degré :
  1000 + 200n = 5000 \implies 200n = 4000 \implies n = 20.
  C'est donc pour le (n+1)-ième mètre, soit le 21ème mètre creusé, que le coût atteindra 5000 euros.

Exercice 5 : Étude d'une suite arithmético-géométrique

L'exercice le plus technique du sujet, il aborde les suites arithmético-géométriques, un incontournable du programme. La méthode consiste à se ramener à une suite géométrique auxiliaire.

• Question 1 : Calcul des premiers termes de u_n définie par u_0 = 15 et u_{n+1} = 0,8u_n + 2 :
  u_1 = 0,8 \times 15 + 2 = 14
u_2 = 0,8 \times 14 + 2 = 13,2
• Question 2 : On pose v_n = u_n - 10. Pour démontrer que (v_n) est une suite géométrique, on exprime v_{n+1} en fonction de u_{n+1}, puis on le relie à v_n :
  v_{n+1} = u_{n+1} - 10 = (0,8u_n + 2) - 10 = 0,8u_n - 8.
  On factorise par 0,8 : v_{n+1} = 0,8(u_n - 10) = 0,8v_n.
  La suite (v_n) est donc géométrique de raison q = 0,8. Son premier terme est v_0 = u_0 - 10 = 15 - 10 = 5.
• Question 3 : On utilise la forme explicite de la suite géométrique (v_n) : v_n = v_0 \times q^n = 5 \times (0,8)^n. En utilisant la relation v_n = u_n - 10, on en déduit l'expression de u_n : u_n = v_n + 10 = 5 \times (0,8)^n + 10.
• Question 4 : La dernière question porte sur la limite de la suite. On étudie la limite de (0,8)^n. Comme la raison q=0,8 est comprise entre -1 et 1 (-1 < 0,8 < 1), on a \lim_{n \to +\infty} (0,8)^n = 0. Par conséquent :
  \lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} (5 \times (0,8)^n + 10) = 5 \times 0 + 10 = 10.