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12. Étudier la limite d'une suite géométrique
Conditions d'achèvement
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Pour aller plus loin : Contrôles sur ce chapitre 🎯
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Bonjour, il y a une erreur dans les consignes. Il s'agit la de suites géométriques et non arithmétiques.
Tout le site est truffé d'erreurs en tout genre et personne ne semble être là pour les corriger malgré le prix de l'abonnement.
Bonjour @MaximeCottrez
Tu en as trouvé des erreurs toi qu'on n'a pas corrigé ?
Ou tu te base sur l'expression 'suites arithmétiques' au lieu de géométrique simplement pour parler ?
Tu en as trouvé des erreurs toi qu'on n'a pas corrigé ?
Ou tu te base sur l'expression 'suites arithmétiques' au lieu de géométrique simplement pour parler ?
Bonjour @AymenIchouan
Merci de nous l'avoir signalé, cela a été corrigé et tu peux réessayer !!
Merci de nous l'avoir signalé, cela a été corrigé et tu peux réessayer !!
Introduction
Salut, accrochez-vous, on est parti pour les limites de suites géométriques. Pour raisonner sur les limites de suites géométriques, on va toujours essayer de les mettre sous forme récurrente ou explicite. Explicite, c'est-à-dire \(u_n\) en fonction de \(n\), et on va utiliser le tableau qui s'affiche à droite.Exemple 1
On commence avec la première : \(u_n = 2 \times 3^n\). La question qu'on pose est : que devient \(3^n\) quand \(n\) devient infiniment grand ? C'est-à-dire pas \(3^2\), pas \(3^4\), mais \(3^{1000}\) milliards de milliards. Vous regardez votre tableau, \(3\) est compris entre \(1\) et \(+\infty\), donc la limite de \(3^n\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\) est \(+\infty\). Effectivement, si vous prenez \(3\), vous le multipliez par \(3\) un grand nombre de fois, ça va offrir un nombre immense, donc \(+\infty\). Maintenant, vous avez réglé le problème de \(3^n\). Si vous prenez un nombre infiniment grand et que vous le multipliez par \(2\), qu'est-ce que ça va être ? Ma limite va toujours être un nombre infiniment grand et du coup, ça va être \(+\infty\).Exemple 2
On passe à la deuxième : \(v_{n+1} = 5 \times v_n\) avec \(v_0 = 1\). Donc, ça me dérange un peu avec cette forme-là, j'ai vraiment envie de la mettre sous forme explicite pour qu'on se retrouve avec quelque chose comme ça. Donc j'utilise la formule que vous connaissez : \(v_n = v_0 \times 5^n\). Je recommence mon raisonnement, \(5\) est plus grand que \(1\), donc la limite de \(5^n\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\) est \(+\infty\). Donc, \(1 \times +\infty\) ça me fait \(+\infty\).Exemple 3
On continue avec \(w_{n+1} = \frac{1}{3} \times w_n\) avec \(w_0 = 2\). Donc, je le mets sous forme explicite : \(w_n = w_0 \times \left(\frac{1}{3}\right)^n\). Je regarde mon tableau, \(\frac{1}{3}\) est compris entre \(-1\) et \(1\), donc la limite de \(\left(\frac{1}{3}\right)^n\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\) est \(0\). Donc, \(2 \times 0\) ça fait toujours \(0\).Exemple 4
On a ici \(x_n = -0.25^n\). \(-0.25\) est bien compris entre \(-1\) et \(1\), donc ça tend vers \(0\). \(0\) multiplié par un nombre négatif, ça fera toujours \(0\).Exemple 5
Enfin, le dernier : \(y_n = 2 \times (-3)^n - 3^n\). Donc, on est bien face à des suites géométriques. Quand l'objet qui est à la puissance est plus petit que \(-1\) ou plus grand que \(1\), il n'y a pas de limite. Comment ça, il n'y a pas de limite ? Prenons par exemple \(-2\). Qu'est-ce qui se passe si je fais la suite \((-2)^n\) ? La suite \((-2)^n\) fait un truc comme ça : pour \(n=0\), elle vaut \(1\), ensuite \((-2)^1\) ça me fait \(-2\), \((-2)^2\) ça fait \(4\), \((-2)^3\) ça fait \(-8\), \((-2)^4\) ça me fait \(16\), etc. Donc, si je fais ça avec \(n\) qui tend vers \(+\infty\), elle va devenir infiniment quelque chose, mais un coup \(+\infty\), un coup \(-\infty\). Donc, dans ces cas-là, il n'y a tout simplement pas de limite. Fichez-vous ce tableau en tête, faites les exercices qu'on vous a mis en dessous, sinon vous allez vous emmêler les pinceaux dans tous les sens. Allez, à vos stylos !Nouvelle recrue
Invité
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