12. Étudier la limite d'une suite géométrique

Introduction

Salut, accrochez-vous, on est parti pour les limites de suites géométriques. Pour raisonner sur les limites de suites géométriques, on va toujours essayer de les mettre sous forme récurrente ou explicite. Explicite, c'est-à-dire \(u_n\) en fonction de \(n\), et on va utiliser le tableau qui s'affiche à droite.

Exemple 1

On commence avec la première : \(u_n = 2 \times 3^n\). La question qu'on pose est : que devient \(3^n\) quand \(n\) devient infiniment grand ? C'est-à-dire pas \(3^2\), pas \(3^4\), mais \(3^{1000}\) milliards de milliards. Vous regardez votre tableau, \(3\) est compris entre \(1\) et \(+\infty\), donc la limite de \(3^n\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\) est \(+\infty\). Effectivement, si vous prenez \(3\), vous le multipliez par \(3\) un grand nombre de fois, ça va offrir un nombre immense, donc \(+\infty\). Maintenant, vous avez réglé le problème de \(3^n\). Si vous prenez un nombre infiniment grand et que vous le multipliez par \(2\), qu'est-ce que ça va être ? Ma limite va toujours être un nombre infiniment grand et du coup, ça va être \(+\infty\).

Exemple 2

On passe à la deuxième : \(v_{n+1} = 5 \times v_n\) avec \(v_0 = 1\). Donc, ça me dérange un peu avec cette forme-là, j'ai vraiment envie de la mettre sous forme explicite pour qu'on se retrouve avec quelque chose comme ça. Donc j'utilise la formule que vous connaissez : \(v_n = v_0 \times 5^n\). Je recommence mon raisonnement, \(5\) est plus grand que \(1\), donc la limite de \(5^n\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\) est \(+\infty\). Donc, \(1 \times +\infty\) ça me fait \(+\infty\).

Exemple 3

On continue avec \(w_{n+1} = \frac{1}{3} \times w_n\) avec \(w_0 = 2\). Donc, je le mets sous forme explicite : \(w_n = w_0 \times \left(\frac{1}{3}\right)^n\). Je regarde mon tableau, \(\frac{1}{3}\) est compris entre \(-1\) et \(1\), donc la limite de \(\left(\frac{1}{3}\right)^n\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\) est \(0\). Donc, \(2 \times 0\) ça fait toujours \(0\).

Exemple 4

On a ici \(x_n = -0.25^n\). \(-0.25\) est bien compris entre \(-1\) et \(1\), donc ça tend vers \(0\). \(0\) multiplié par un nombre négatif, ça fera toujours \(0\).

Exemple 5

Enfin, le dernier : \(y_n = 2 \times (-3)^n - 3^n\). Donc, on est bien face à des suites géométriques. Quand l'objet qui est à la puissance est plus petit que \(-1\) ou plus grand que \(1\), il n'y a pas de limite. Comment ça, il n'y a pas de limite ? Prenons par exemple \(-2\). Qu'est-ce qui se passe si je fais la suite \((-2)^n\) ? La suite \((-2)^n\) fait un truc comme ça : pour \(n=0\), elle vaut \(1\), ensuite \((-2)^1\) ça me fait \(-2\), \((-2)^2\) ça fait \(4\), \((-2)^3\) ça fait \(-8\), \((-2)^4\) ça me fait \(16\), etc. Donc, si je fais ça avec \(n\) qui tend vers \(+\infty\), elle va devenir infiniment quelque chose, mais un coup \(+\infty\), un coup \(-\infty\). Donc, dans ces cas-là, il n'y a tout simplement pas de limite. Fichez-vous ce tableau en tête, faites les exercices qu'on vous a mis en dessous, sinon vous allez vous emmêler les pinceaux dans tous les sens. Allez, à vos stylos !