Téléchargez ce sujet de contrôle de mathématiques pour Terminale STI2D, entièrement dédié aux chapitres sur les probabilités conditionnelles et la loi binomiale. Ce document, accompagné de son corrigé détaillé, est l'outil idéal pour réviser et s'entraîner en conditions réelles d'examen. Chaque exercice a été conçu pour balayer l'ensemble des compétences clés de ces chapitres fondamentaux du programme.

Ce contrôle aborde des situations concrètes, telles que la gestion de la maintenance d'un parc éolien ou la fiabilité d'ascenseurs, permettant de mieux saisir l'application pratique des concepts théoriques. Vous y travaillerez des notions essentielles comme la construction d'arbres pondérés, le calcul de probabilités d'intersections et d'unions, l'utilisation de la formule des probabilités totales, la justification d'une loi binomiale, le calcul de ses paramètres (espérance) et l'utilisation du triangle de Pascal.

Exercice 1 : Les roulements d'un parc éolien (Probabilités Conditionnelles)

Cet exercice est une application classique des probabilités conditionnelles. Il s'articule autour d'une situation industrielle impliquant trois fabricants de roulements pour éoliennes. L'objectif est de manipuler les probabilités liées à l'origine d'une pièce et à sa défaillance prématurée.

• Question 1 : Construction d'un arbre pondéré pour modéliser la situation. Vous devrez identifier les événements initiaux (fabricants A, B, C) et les événements conditionnels (usure U ou non-usure \(\bar{U}\)).
• Question 2 : Calcul et interprétation de la probabilité d'une intersection, \(P(A \cap U)\). Il s'agit de trouver la probabilité qu'un roulement provienne du fabricant A et qu'il présente une usure prématurée.
• Question 3 : Utilisation de la formule des probabilités totales pour démontrer que la probabilité globale d'usure, \(P(U)\), est de 0,03. Cela implique de sommer les probabilités des chemins menant à l'événement U : \(P(U) = P(A \cap U) + P(B \cap U) + P(C \cap U)\).
• Question 4 : Calcul d'une probabilité "inversée". Sachant qu'un roulement est défectueux, quelle est la probabilité qu'il vienne du fabricant C ? Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle \(P_U(C) = \frac{P(C \cap U)}{P(U)}\).
• Question 5 : Test de l'indépendance entre deux événements. Vous devrez vérifier si \(P(A \cap U) = P(A) \times P(U)\) pour conclure sur l'indépendance (ou la dépendance) entre le fabricant et le risque d'usure, et interpréter ce résultat d'un point de vue pratique pour l'exploitant.

Exercice 2 : Des chemins dans un arbre (Loi Binomiale et Triangle de Pascal)

Cet exercice se concentre sur la compréhension de la loi binomiale à travers une représentation visuelle, l'arbre de probabilités. Il s'agit d'une répétition de 3 épreuves de Bernoulli indépendantes.

• Question 1 : Dénombrement des issues. En analysant l'arbre fourni, vous devrez compter le nombre de chemins correspondant à un nombre de succès donné (ici, \(X=2\)), ce qui correspond au coefficient binomial \(\binom{3}{2}\).
• Question 2 : Calcul de probabilités simples dans le cadre d'une loi binomiale \(\mathcal{B}(3; 0,4)\), notamment \(P(X=0)\) et \(P(X=3)\).
• Question 3 : Utilisation du triangle de Pascal pour retrouver les coefficients binomiaux. Cet outil arithmétique permet de déterminer rapidement le nombre de combinaisons et de le relier au dénombrement de la question 1.
• Question 4 : Application de la loi binomiale et du triangle de Pascal à un autre cas (\(n=6, p=0,5\)). Vous devrez calculer \(P(Y=3)\) en utilisant le coefficient \(\binom{6}{3}\) lu dans le triangle, puis calculer une probabilité cumulée \(P(Y \geq 5) = P(Y=5) + P(Y=6)\).

Exercice 3 : Les cinq ascenseurs d'un immeuble de bureaux (Problème de synthèse)

Cet exercice est un problème complet qui met en application la loi binomiale dans un contexte réaliste pour valider ou infirmer des affirmations issues d'un rapport de gestionnaire. C'est l'occasion de lier les calculs à une prise de décision.

• Question 1 : Justification du modèle. Vous devrez expliquer pourquoi la variable aléatoire \(X\) (nombre d'ascenseurs en panne) suit une loi binomiale en vérifiant les trois conditions : répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Vous préciserez ses paramètres \(n=5\) et \(p=0,1\).
• Question 2 : Calcul de \(P(X=0)\) pour vérifier l'affirmation "(1) Plus d'un jour ouvré sur deux, les cinq ascenseurs fonctionnent tous".
• Question 3 : Calcul et interprétation de l'espérance mathématique \(E(X) = n \times p\). Ce calcul permettra de vérifier l'affirmation "(2) En moyenne, un demi-ascenseur est immobilisé chaque jour ouvré".
• Question 4 : Calcul de probabilités pour des événements non nuls, \(P(X=1)\) puis \(P(X \geq 2)\), cette dernière étant essentielle pour la question suivante.
• Question 5 : Application d'une seconde loi binomiale. Le nombre de jours où au moins deux ascenseurs tombent en panne suit lui-même une loi binomiale. Vous utiliserez le résultat de \(P(X \geq 2)\) comme nouveau paramètre de probabilité pour évaluer la pertinence de l'affirmation "(3)".