Analyse du sujet de mathématiques pour Terminale STI2D

Ce devoir commun pour les élèves de Terminale STI2D est un excellent sujet de révision qui balaye une grande partie du programme. Il est composé de quatre exercices portant sur les nombres complexes, le calcul intégral, les probabilités (conditionnelles et loi binomiale), et les équations différentielles. Ce contrôle corrigé est une ressource idéale pour s'entraîner en conditions réelles.

Exercice 1 : Questions indépendantes de laboratoire

Cet exercice est un QCM revisité où chaque question aborde un chapitre différent. La justification des réponses est demandée, ce qui force l'élève à bien maîtriser ses raisonnements.

• Question 1 : Nombres Complexes et Électricité. On étudie un dipôle d'impédance complexe \(Z = 30+30\sqrt{3}i\). La première tâche est de convertir ce nombre de sa forme algébrique à sa forme exponentielle, ce qui implique le calcul du module \(|Z|\) et de l'argument \(\arg(Z)\). Ensuite, en utilisant la loi d'Ohm en complexe \(I = \frac{U}{Z}\), on doit trouver la forme exponentielle de l'intensité \(I\) et interpréter le résultat en termes de déphasage.
• Question 2 : Calcul Intégral. Il s'agit de calculer une intégrale définie : \(\int_0^1 (2x + 1) e^{x^2+x} dx\). La clé est de reconnaître une forme de primitive connue, du type \(\int u'(x)e^{u(x)}dx = e^{u(x)}\), pour trouver rapidement la valeur exacte.
• Question 3 : Inéquation et Logarithme. Cette question modélise la résolution d'un convertisseur. Le problème se traduit par l'inéquation \(\frac{5}{2^n} \le 0.001\). Pour trouver le plus petit entier \(n\), il est nécessaire de manipuler l'inéquation et d'utiliser la fonction logarithme népérien pour isoler la puissance.
• Question 4 : Probabilités Conditionnelles. Un exercice classique de probabilités totales. Avec deux fournisseurs et des taux de défauts différents, on prélève une pièce au hasard. Il faut construire un arbre de probabilités (implicitement), utiliser la formule des probabilités totales pour calculer la probabilité qu'une pièce soit défectueuse (\(P(D)\)), et enfin vérifier si les événements "provenir du fournisseur A" et "être défectueux" sont indépendants.

Exercice 2 : Géométrie et Nombres Complexes

Cet exercice, très formateur, consiste à analyser et corriger le travail d'un autre élève sur un problème de géométrie dans le plan complexe. Le contexte est la découpe d'un écrou hexagonal régulier de centre \(O\). L'affixe du premier sommet \(A\) est \(a = 2\sqrt{3} + 2i\).

• L'analyse de la copie demande de repérer les erreurs. Une erreur fréquente est commise sur le calcul de la distance \(AB\) avec la formule fausse \(|b-a| = |b| - |a|\). Une autre erreur se trouve dans la détermination de l'argument.
• La correction demande de retrouver la bonne forme exponentielle de \(a\), puis d'en déduire celle de \(b\) par rotation d'angle \(\frac{\pi}{3}\), soit \(b = a e^{i\frac{\pi}{3}}\).
• Le calcul final de la longueur \(AB = |b-a|\) est une application directe des propriétés des modules. Une justification géométrique (le triangle \(OAB\) est équilatéral) permettait d'anticiper le résultat \(AB = OA = |a|\).

Exercice 3 : Loi Binomiale et Python

Cet exercice aborde la loi binomiale dans un contexte de contrôle qualité de ventouses de robot, avec un support de programmation en Python.

• La première question est une justification de cours : pourquoi la variable aléatoire \(X\) comptant le nombre de ventouses défectueuses suit-elle une loi binomiale ? Il faut vérifier les conditions d'un schéma de Bernoulli et donner les paramètres \(n\) et \(p\).
• L'exercice fait le lien entre les coefficients de la loi et le triangle de Pascal.
• Des calculs de probabilités sont demandés : \(P(X=0)\), \(P(X=1)\) et la probabilité d'un événement contraire \(P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1)\).
• L'analyse du code Python permet de comprendre comment calculer numériquement l'espérance d'une variable aléatoire. Il faut ensuite interpréter les résultats et les vérifier avec la formule du cours \(E(X)=np\).
• Enfin, une question d'application concrète demande d'utiliser l'espérance pour estimer un budget de maintenance.

Exercice 4 : Équations Différentielles et Centrifugeuse

Ce dernier exercice est un problème complet qui modélise la vitesse d'une centrifugeuse à l'aide d'équations différentielles du premier ordre à coefficients constants, de la forme \(y'=ay+b\).

• Partie A : Mise en vitesse. On résout l'équation \((E): y' = -0,2 y + 1200\) avec la condition initiale \(N(0)=0\). On étudie ensuite la fonction solution : recherche de la vitesse limite (solution constante), sens de variation et limite en \(+\infty\).
• Partie B : Application numérique. Cette partie utilise la solution trouvée. On résout une équation du type \(N(t)=k\) en utilisant le logarithme. Puis, on calcule la valeur moyenne de la vitesse sur un intervalle de temps, ce qui nécessite le calcul d'une intégrale de la fonction solution.
• Partie C : Freinage. Une nouvelle phase est modélisée par une autre équation différentielle, plus simple (\(y'=ay\)). Il faut vérifier qu'une fonction donnée est bien solution, puis résoudre une inéquation pour répondre à une question de sécurité, mobilisant une nouvelle fois les logarithmes.