Ce sujet de contrôle de mathématiques pour la classe de Terminale STI2D est une évaluation complète portant sur trois chapitres essentiels du programme : les probabilités conditionnelles, la loi binomiale et la fonction logarithme. D'une durée de 2 heures, ce devoir type bac est idéal pour s'entraîner et valider ses connaissances. Il est composé de trois exercices progressifs qui testent à la fois la compréhension des concepts, la capacité à les appliquer dans des contextes variés et l'esprit critique.

Exercice 1 : QCM à justifier

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples où chaque réponse doit être rigoureusement justifiée. Il évalue les savoir-faire fondamentaux sur les probabilités et la loi binomiale.

• Question 1 : Teste la maîtrise des formules de probabilités conditionnelles. Il est demandé de calculer \( P_B(A) \) connaissant \( P(A) \), \( P(B) \) et \( P_A(B) \). La résolution passe par le calcul de la probabilité de l'intersection : \( P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) \), puis par l'application de la définition de \( P_B(A) \).
• Question 2 : Porte sur l'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale. À partir de l'espérance \( E(X) = 1,2 \) et de la probabilité de succès \( p = 0,15 \), il faut retrouver le nombre d'épreuves \( n \) en utilisant la formule \( E(X) = np \).
• Question 3 : Est un calcul direct de probabilité dans le cadre d'une loi binomiale \( B(6; 0,9) \). Il faut calculer \( P(Y=5) \) en appliquant la formule du cours : \( P(Y=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \), ce qui nécessite le calcul d'un coefficient binomial.
• Question 4 : Évalue la capacité à reconnaître une situation relevant de la loi binomiale. Il faut analyser quatre scénarios et identifier celui qui respecte les quatre conditions nécessaires : la succession de \( n \) épreuves de Bernoulli identiques, indépendantes, avec deux issues (succès/échec) et une probabilité de succès constante.

Exercice 2 : La télérelève d'un compteur d'eau

Cet exercice, plus long et décomposé en deux parties, propose un problème concret de fiabilité de transmission de données. C'est une excellente application des lois de probabilités dans un contexte technologique proche de la filière STI2D.

Partie A : Quatre envois par temps sec

On modélise le nombre d'envois reçus par une variable aléatoire \( X \).

• Question 1 : Demande de justifier que \( X \) suit une loi binomiale et d'en préciser les paramètres \( n=4 \) et \( p=0,7 \).
• Question 2 : Le calcul de la probabilité que \"le relevé soit perdu\" correspond à calculer \( P(X=0) \).
• Question 3 : Aborde le calcul de \( P(X=2) \) en insistant sur le dénombrement des chemins possibles (via un arbre ou le triangle de Pascal), ce qui correspond au coefficient binomial \( \binom{4}{2} \).
• Question 4 : Fait calculer la probabilité que l'index soit validé, c'est-à-dire \( P(X \ge 2) \). Une bonne stratégie est d'utiliser l'événement contraire : \( 1 - P(X < 2) \).
• Question 5 : Conclut cette partie par le calcul et l'interprétation de l'espérance de \( X \), qui représente le nombre moyen d'envois reçus par jour.

Partie B : Combien d'envois par jour ?

Cette partie complexifie le modèle en introduisant le nombre d'envois \( n \) comme une variable et en ajoutant l'influence de la météo.

• Question 6 : Le point clé est la résolution d'une inéquation à l'aide de la fonction logarithme népérien. Il faut résoudre \( (0,3)^n \le 10^{-4} \) pour trouver le nombre minimal d'envois \( n \) garantissant un certain niveau de fiabilité.
• Question 7 : Simple mise en équation pour déterminer une contrainte sur \( n \) liée à la durée de vie d'une pile.
• Question 8 : Met en jeu la formule des probabilités totales. Il faut construire un arbre pondéré avec les événements \"Pluie\" et \"Pas de pluie\", puis calculer la probabilité totale de l'événement \"relevé perdu\".
• Question 9 : Est une question classique de probabilité inverse (ou formule de Bayes) : sachant que le relevé a été perdu, quelle est la probabilité qu'il ait plu ?
• Question 10 : Question de synthèse qui demande de croiser les différentes contraintes pour déterminer si une solution optimale existe.

Exercice 3 : Les ventilateurs d'une centrale de traitement d'air

Cet exercice original demande d'analyser et de corriger les erreurs commises par un élève. C'est un excellent moyen de vérifier la solidité de la compréhension des concepts.

• Question 1 : Met en évidence l'erreur fréquente de l'oubli du coefficient binomial dans le calcul d'une probabilité de type \( P(X=k) \).
• Question 2 : Souligne une erreur de raisonnement sur le calcul de la probabilité d'un événement \"au moins un\", en rappelant que les probabilités ne s'additionnent pas de cette manière et qu'il faut passer par l'événement contraire.
• Question 3 : Insiste sur la différence fondamentale entre une probabilité et une espérance, même si leurs valeurs numériques peuvent coïncider. L'espérance est une moyenne sur le long terme, alors qu'une probabilité se rapporte à une seule expérience.

En conclusion, ce contrôle corrigé pour Terminale STI2D couvre de manière exhaustive les compétences attendues sur la loi binomiale et les probabilités conditionnelles, tout en intégrant une application de la fonction logarithme.