Analyse du sujet de mathématiques - Terminale STI2D

Ce document est un contrôle corrigé de mathématiques destiné aux élèves de Terminale STI2D. Il porte sur deux chapitres centraux du programme de probabilités : la loi binomiale et les probabilités conditionnelles. D'une durée d'1h30, ce sujet évalue la capacité des élèves à modéliser des situations concrètes, à appliquer les formules du cours et à interpréter les résultats obtenus. C'est un excellent support pour s'entraîner et réviser avant une évaluation.

Exercice 1 : Un triangle qui se construit ligne à ligne (4 points)

Cet exercice introductif fait le lien entre l'informatique (avec un programme Python), le triangle de Pascal et la loi binomiale. Il est conçu pour vérifier la compréhension de la construction du triangle de Pascal et son utilisation pour déterminer les coefficients binomiaux.

• Question 1 : Il s'agit de compléter un algorithme Python qui génère les lignes du triangle de Pascal. Cela teste la connaissance de la relation de Pascal : \(\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}\).
• Question 2 : Cette question demande de lire un coefficient binomial \(\binom{6}{2}\) directement dans l'affichage du programme et d'en donner l'interprétation combinatoire dans le contexte d'une répétition de 6 épreuves de Bernoulli. Par exemple, le nombre de chemins dans un arbre menant à exactement 2 succès.
• Question 3 : Application directe de la loi binomiale. Pour une variable aléatoire \(X\) suivant la loi \(\mathcal{B}(6; 0,2)\), il faut calculer les probabilités \(P(X=2)\) et \(P(X=3)\) en utilisant les coefficients binomiaux lus précédemment. La formule \(P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\) est au cœur de cette question.

Exercice 2 : Les vannes motorisées d'un réseau de chaleur (11 points)

Cet exercice est un problème complet et concret mobilisant toutes les facettes de la loi binomiale, ainsi que les lois de probabilité d'une variable aléatoire et les probabilités conditionnelles.

• Question 1 : Une question de cours fondamentale qui demande de justifier qu'une situation relève d'une loi binomiale. Il faut vérifier la présence d'un schéma de Bernoulli : la répétition de \(n=10\) épreuves identiques et indépendantes, avec deux issues (succès/échec).
• Questions 2 et 3 : Calculs de probabilités classiques pour une loi binomiale \(\mathcal{B}(10; 0,08)\) : calcul de \(P(X=0)\), \(P(X=1)\) et d'une probabilité cumulée \(P(X \le 1)\). L'usage de la calculatrice est ici recommandé.
• Question 4 : Retour au calcul "à la main" en utilisant le triangle de Pascal pour trouver le coefficient \(\binom{10}{2}\) et en déduire \(P(X=2)\).
• Question 5 : Calcul et interprétation de l'espérance \(E(X) = np\). Il faut comprendre que l'espérance représente le nombre moyen de vannes grippées que l'on peut s'attendre à trouver sur un grand nombre de visites.
• Question 6 : Cet item complexifie le problème en introduisant une nouvelle variable aléatoire \(C\), le coût de l'intervention. Il faut utiliser un arbre pondéré pour modéliser la situation (vanne grippée ou non, puis réparée ou remplacée) afin de déterminer la loi de probabilité de \(C\) et de calculer son espérance.
• Question 7 : La dernière question évalue la capacité à analyser et critiquer une affirmation. Elle introduit une nouvelle loi binomiale et demande de calculer des probabilités de type \(P(Y \ge 1)\) et \(P(Y \le 1)\) pour valider ou invalider des hypothèses de travail.

Exercice 3 : Lampadaires à LED ou au sodium (5 points)

Ce dernier exercice est un problème ouvert de probabilités conditionnelles qui nécessite une prise d'initiative. Il n'y a pas de questions intermédiaires pour guider l'élève, ce qui teste sa capacité à structurer sa pensée.

La situation implique deux types de lampadaires (LED et Sodium) et un événement "nécessiter une intervention". On connaît les proportions de chaque type de lampadaire, la probabilité totale d'une intervention, et une relation entre les probabilités conditionnelles (\(P(I|S) = 3 \times P(I|L)\)). L'objectif est de trouver \(P(S|I)\), c'est-à-dire la probabilité qu'un lampadaire ayant nécessité une intervention soit un lampadaire au sodium.

Pour résoudre ce problème, la démarche typique est la suivante :

1. Poser les événements et traduire les données de l'énoncé en termes de probabilités.
2. Utiliser la formule des probabilités totales : \(P(I) = P(I \cap L) + P(I \cap S) = P(I|L)P(L) + P(I|S)P(S)\).
3. Résoudre l'équation issue de la formule pour trouver les probabilités conditionnelles inconnues \(P(I|L)\) et \(P(I|S)\).
4. Appliquer la définition d'une probabilité conditionnelle (ou la formule de Bayes) pour calculer la probabilité recherchée : \(P(S|I) = \frac{P(S \cap I)}{P(I)}\).

Cet exercice est un excellent test de la maîtrise des outils de probabilités conditionnelles et de la logique de résolution de problème.