Analyse du Contrôle de Mathématiques pour Terminale STI2D

Ce document est une correction détaillée d'un devoir commun de mathématiques destiné aux élèves de Terminale STI2D. Le sujet aborde plusieurs chapitres clés du programme : les automatismes, les suites numériques (arithmétiques et géométriques), la fonction inverse et la composition de fonctions. Chaque exercice est analysé pour mettre en lumière les compétences évaluées, avec un focus sur la modélisation de problèmes concrets.

Exercice 1 : Automatismes, huit questions flash

Cet exercice d'introduction vise à évaluer la maîtrise des calculs et raisonnements de base, essentiels en sciences et technologies. Les questions couvrent un large spectre de compétences fondamentales :

• Pourcentages : Application de pourcentages successifs, calcul d'un taux d'évolution global et recherche d'un taux de variation réciproque. Par exemple, après une hausse de 60%, quelle baisse est nécessaire pour revenir à la valeur initiale ?
• Nombres et calculs : Manipulation des puissances de 10 et conversion en écriture scientifique, avec le calcul de \(\frac{3,2 \times 10^{-4}}{8 \times 10^{2}}\).
• Calcul littéral : Isolation d'une variable dans une formule de physique (\(P = \frac{U^2}{R}\)) et factorisation d'une expression du second degré en utilisant les identités remarquables (\(9x^2 - \frac{16}{25}\)).
• Fonctions et suites : Étude du signe d'une fonction polynôme du second degré déjà factorisée et identification de la nature (géométrique) d'une suite modélisant une perte de volume de 3% par jour.

Exercice 2 : Le local technique d'une piscine (QCM)

Ce QCM à points exige une justification pour chaque réponse, ce qui force à une véritable résolution de problème. Il fait le lien entre les suites et l'étude de fonctions.

• Question 1 : Modélisation d'une augmentation de fréquentation par une suite arithmétique. Il faut résoudre une inéquation pour déterminer le premier jour où la fréquentation dépasse un seuil.
• Question 2 : Application d'une suite géométrique pour calculer l'évolution d'une facture augmentant de 5% par an sur plusieurs années.
• Question 3 : Utilisation de la fonction inverse dans un contexte de coût. La résolution de l'inéquation \(c(x) = 3,5 + \frac{840}{x} \le 4\) est requise.
• Question 4 : Calcul de la dérivée d'une fonction composée de la forme \(u(x)^n\). Il s'agit de dériver \(P(t) = 1,5(1+0,5t)^3\) pour analyser la puissance d'une pompe.

Exercice 3 : Le tassement d'un remblai ferroviaire (Python)

Cet exercice complet porte sur les suites géométriques et leur application dans un problème de génie civil, en y intégrant l'analyse d'algorithmes en Python.

• Modélisation : La première partie consiste à identifier une suite géométrique, à préciser sa raison (0,8) et son premier terme (12), puis à donner son expression explicite \(u_n\).
• Algorithmique : Une fonction Python est donnée pour calculer la somme des termes de la suite. L'élève doit exécuter le code "à la main" en remplissant un tableau de suivi des variables pour comprendre son fonctionnement.
• Somme et Limite : Il est demandé de démontrer la formule de la somme des \(n\) premiers termes, \(S_n = 60(1 - 0,8^n)\), et d'en déduire la limite, montrant que le tassement total est borné.
• Résolution de problème : La dernière partie consiste à compléter un autre algorithme Python pour trouver après combien de mois le tassement mensuel devient inférieur à 1 mm, ce qui revient à résoudre l'inéquation \(u_n < 1\).

Exercice 4 : Les livraisons de granulés d'une chaufferie collective

Ce long problème d'analyse est divisé en trois parties indépendantes, explorant l'optimisation de coûts, l'étude de fonctions trigonométriques et les suites arithmétiques.

• Partie A (Optimisation) : L'objectif est de minimiser un coût de gestion annuel modélisé par la fonction \(C(Q) = \frac{60000}{Q} + 7,5Q\). Cela implique de dériver la fonction (faisant intervenir la fonction inverse), d'étudier le signe de la dérivée et de dresser un tableau de variation pour trouver le minimum de la fonction.
• Partie B (Fonction trigonométrique) : La puissance de la chaudière est modélisée par une fonction cosinus composée : \(P(t) = 150 + 50 \cos(\frac{\pi(t-4)}{12})\). Il faut la dériver, étudier son sens de variation sur un intervalle, et interpréter la valeur du nombre dérivé en un point.
• Partie C (Suite arithmétique) : L'effet d'un programme d'isolation est modélisé par une suite arithmétique de raison -6. Il faut trouver l'expression du terme général, résoudre une inéquation pour savoir quand la consommation passera sous un seuil, et enfin calculer la somme des termes sur 10 ans pour évaluer les économies.