Exercice 1 : Étude de fonction logarithme (10 points)

Cet exercice est une étude de fonction complète, un grand classique du baccalauréat de spécialité maths. Il se divise en deux parties et mobilise les compétences sur la fonction logarithme népérien, la dérivation, les limites et la convexité. Un excellent entraînement pour le bac !

• Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire

  On étudie d'abord la fonction \( g(x) = 2(x - 1) – x \ln(x) \) sur l'intervalle \( ]0; +\infty[ \). L'objectif est de déterminer son signe. Pour cela, on calcule ses limites aux bornes de l'ensemble de définition, on dérive \( g \) pour obtenir son sens de variation, et on dresse son tableau de variations complet. Une question clé est l'application du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (TVI) pour démontrer que l'équation \( g(x) = 0 \) admet exactement deux solutions, dont l'une est 1.

• Partie B : Étude de la fonction principale

  On s'intéresse ensuite à la fonction \( f(x) = 3x - x \ln(x) – 2\ln(x) \). Le travail de la partie A est ici essentiel. On montre que la dérivée de \( f \), notée \( f'(x) \), est directement liée à la fonction auxiliaire par la relation \( f'(x) = \frac{g(x)}{x} \). Le signe de \( g(x) \) donne donc immédiatement les variations de \( f \). L'exercice se conclut par une étude de la convexité de la fonction \( f \). Il faut pour cela calculer la dérivée seconde \( f''(x) \), étudier son signe et en déduire l'existence et les coordonnées d'un point d'inflexion sur la courbe de \( f \).

Exercice 2 : Probabilités Conditionnelles et Loi Binomiale (10 points)

Ce deuxième exercice aborde un problème de probabilités. Il mêle probabilités conditionnelles, arbres pondérés, indépendance et se termine sur l'utilisation de la loi binomiale. Le contexte est celui d'un jeu de kermesse.

• Probabilités conditionnelles et arbre : La première partie modélise une partie du jeu à l'aide d'un arbre de probabilités. Il faut savoir calculer des probabilités conditionnelles (\( P_B(G) \)) et utiliser la formule des probabilités totales pour calculer la probabilité de gagner, \( P(G) \). Une question demande également d'inverser le conditionnement, c'est-à-dire de calculer \( P_G(B) \), la probabilité d'avoir obtenu une case blanche sachant que l'on a gagné.
• Indépendance : On vérifie si deux événements sont indépendants en comparant le produit de leurs probabilités avec la probabilité de leur intersection.
• Loi binomiale : La situation est ensuite modifiée : le joueur effectue 10 parties identiques et indépendantes. Il faut alors reconnaître et justifier une loi binomiale, en précisant ses paramètres \( n \) (nombre d'épreuves) et \( p \) (probabilité du succès). Les questions portent sur le calcul de probabilités comme \( P(X=3) \) et \( P(X \ge 4) \).
• Seuil de probabilité : La dernière question est un problème de seuil classique : on cherche le nombre minimal de parties \( n \) à jouer pour que la probabilité de gagner au moins une fois soit supérieure à un seuil donné (0,99). Cela se traduit par l'inéquation \( 1 - (1-p)^n \ge 0.99 \).

Exercice 3 : Géométrie dans l'Espace (10 points)

Cet exercice est un problème complet de géométrie dans l'espace. On travaille dans un repère orthonormé avec des points dont les coordonnées sont données. Les outils principaux sont le calcul vectoriel et le produit scalaire.

• Vecteurs et orthogonalité : On commence par démontrer qu'un triangle est rectangle en utilisant le produit scalaire pour prouver l'orthogonalité de deux vecteurs (\( \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0 \)). On montre également qu'un vecteur donné est normal à un plan.
• Équations de plans et de droites : À partir du vecteur normal, on déduit une équation cartésienne du plan (ABC). On détermine ensuite une représentation paramétrique d'une droite \( (d) \) passant par un point et orthogonale à ce plan.
• Intersection et projection : Un point clé de l'exercice est de trouver les coordonnées du point d'intersection \( H \) entre la droite \( (d) \) et le plan (ABC), ce qui revient à trouver le projeté orthogonal du point S sur le plan.
• Calculs de grandeurs : L'exercice se termine par des calculs de volume (tétraèdre SABC), de longueurs (normes de vecteurs) et d'une mesure d'angle (\( \widehat{ASB} \)) en utilisant la formule du produit scalaire avec le cosinus.

Exercice 4 : Suites numériques et récurrence (10 points)

Le dernier exercice porte sur l'étude d'une suite définie par une relation de récurrence : \( u_{n+1} = 5u_n - 8n + 6 \). Il combine raisonnement par récurrence, étude de limite et utilisation d'une suite auxiliaire.

• Raisonnement par récurrence : Une question demande de démontrer par récurrence une inégalité, à savoir que pour tout entier \( n \), on a \( u_n \ge 2n \). C'est une application directe de la méthode.
• Limite de suite : Grâce à l'inégalité précédente, on utilise le théorème de comparaison pour déterminer la limite de la suite \( (u_n) \).
• Suite auxiliaire : Pour trouver l'expression explicite de \( u_n \), la méthode consiste à introduire une suite auxiliaire \( v_n = u_n - 2n + 1 \). On doit alors démontrer que cette suite \( (v_n) \) est géométrique en calculant le rapport \( \frac{v_{n+1}}{v_n} \).
• Forme explicite : Une fois la nature de \( (v_n) \) connue, on exprime \( v_n \) en fonction de \( n \), puis on en déduit l'expression de \( u_n \) en fonction de \( n \). L'exercice contient également une partie d'informatique avec un script Python à compléter.

Ce sujet de Bac Blanc pour la Terminale spécialité maths est un excellent entraînement. Il balaie une grande partie du programme avec des exercices de type bac, exigeant rigueur dans la rédaction et maîtrise des concepts clés.