Analyse du Contrôle de Mathématiques pour Terminale Spécialité
Ce sujet d'évaluation pour la classe de Terminale en spécialité mathématiques est un contrôle complet de 2 heures portant sur les chapitres de l'étude de fonctions, la continuité et la convexité. Il est conçu pour tester en profondeur la maîtrise des outils d'analyse : limites, dérivation, théorème des valeurs intermédiaires et étude de la convexité. Le contrôle est structuré en quatre exercices distincts, balayant des fonctions exponentielles, rationnelles et définies par morceaux.
Exercice 1 : Étude complète d'une fonction avec exponentielle
Cet exercice est un problème d'analyse classique qui se décompose en deux parties interdépendantes. L'objectif est d'étudier la fonction $f(x) = x^2e^x - 2x$ en s'appuyant sur une fonction auxiliaire.
- Partie A : La fonction auxiliaire $g(x) = xe^x(x + 2) - 2$. Cette partie sert à préparer l'étude des variations de $f$. On y évalue les compétences suivantes :
- Calcul de limites aux bornes de l'ensemble de définition, notamment en $-\infty$ où une connaissance des croissances comparées est essentielle.
- Calcul de la dérivée $g'(x)$ et étude de son signe, qui est lié à celui d'un polynôme du second degré $P(x) = x^2 + 4x + 2$.
- Construction du tableau de variations complet de $g$.
- Application du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (TVI) pour démontrer l'existence d'une unique solution à l'équation $g(\alpha) = 0$ et en trouver un encadrement.
- Déduction du signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$.
- Partie B : La fonction principale $f(x)$. Les résultats de la partie A sont utilisés pour mener à bien l'étude de $f$. Les points clés sont :
- Calcul des limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$.
- Démonstration que la dérivée $f'(x)$ est égale à la fonction auxiliaire $g(x)$, liant ainsi les deux parties.
- Utilisation du signe de $g$ pour construire le tableau de variations de $f$.
- Étude des branches infinies avec la démonstration que la droite d'équation $y = -2x$ est une asymptote oblique à la courbe en $-\infty$.
- Analyse de la convexité de $f$ par l'étude du signe de la dérivée seconde $f''(x)$, et détermination des points d'inflexion.
Exercice 2 : QCM sur la dérivation seconde et la convexité
Cet exercice, sous forme de QCM, évalue de manière ciblée la compréhension des concepts de dérivation et de convexité pour la fonction $f(x) = 1 + (x - 5)e^{0,2x}$. Les questions portent sur :
- Le calcul de la dérivée seconde $f''(x)$, nécessitant la maîtrise des règles de dérivation d'un produit et d'une fonction composée.
- L'étude des variations de la dérivée première $f'(x)$ en analysant le signe de $f''(x)$.
- La détermination des intervalles de concavité et de convexité de la fonction $f$ à partir du signe de $f''(x)$.
- L'interprétation graphique de la convexité, notamment la position relative de la courbe par rapport à ses tangentes.
- L'identification de l'abscisse du point d'inflexion.
Exercice 3 : Étude d'une fonction rationnelle
Similaire à l'exercice 1 dans sa structure, ce problème se concentre sur une fonction rationnelle $f(x) = \frac{x^3 + 2x^2}{x^2 - 1}$.
- Partie A : Fonction auxiliaire $g(x) = x^3 - 3x - 4$. On étudie ce polynôme pour en déterminer le signe, en utilisant à nouveau le calcul de la dérivée, le tableau de variations et le corollaire du TVI.
- Partie B : Étude de la fonction $f$. L'étude est guidée par les questions suivantes :
- Détermination des limites aux bornes de l'ensemble de définition $\mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}$, ce qui inclut des limites en l'infini et des limites en -1 et 1 pour identifier les asymptotes verticales.
- Calcul de la dérivée $f'(x)$ et mise en évidence du lien avec le signe de la fonction auxiliaire $g(x)$.
- Construction du tableau de variations de $f$.
- Recherche d'une asymptote oblique en $+\infty$ et $-\infty$ et étude de la position relative de la courbe par rapport à cette asymptote.
Exercice 4 : Continuité en un point
Cet dernier exercice est un test direct de la définition de la continuité d'une fonction en un point. Pour trois fonctions différentes définies par morceaux, il est demandé de déterminer si elles sont continues en $x=0$. La méthode consiste à :
- Calculer la limite à gauche de 0.
- Calculer la limite à droite de 0.
- Comparer ces deux limites avec la valeur de la fonction en 0.
Pour la fonction $h(x) = \frac{|x|}{x}$, l'exercice met en évidence un cas de discontinuité où les limites à gauche et à droite diffèrent.