Obtenez une analyse détaillée et le corrigé de ce sujet de bac blanc de mathématiques pour la classe de Terminale (spécialité). Ce contrôle complet de 4 heures balaye une grande partie du programme et constitue un excellent entraînement pour l'examen final. Les thèmes abordés incluent les probabilités avec le dénombrement et la loi binomiale, l'étude de suites arithmético-géométriques, l'analyse de fonctions avec logarithme et exponentielle, ainsi que la géométrie dans l'espace.
Ce document est une ressource précieuse pour les élèves souhaitant s'évaluer et comprendre en profondeur les méthodes de résolution attendues. Chaque exercice est décortiqué pour mettre en lumière les compétences clés et les pièges à éviter.
Exercice 1 : Probabilités et Loi Binomiale (9 points)
Cet exercice se concentre sur les probabilités discrètes à travers un jeu de "Tickets cœurs". Il s'agit de placer trois cœurs sur une grille de 3x3.
- Dénombrement : La première question demande de justifier le nombre de façons de positionner les cœurs, ce qui fait appel à la notion de combinaisons. Il faut calculer \( \binom{9}{3} \).
- Calcul de probabilité : On calcule ensuite la probabilité d'un événement "le ticket est gagnant", en identifiant les cas favorables (lignes, colonnes, diagonales) dans un univers d'équiprobabilité.
- Espérance mathématique : La question sur la rentabilité du jeu ("le jeu est-il favorable ?") nécessite de calculer l'espérance de la variable aléatoire associée au gain.
- Loi binomiale : La dernière partie modélise la répétition de 20 parties indépendantes. Il faut reconnaître et justifier une loi binomiale \( \mathcal{B}(n, p) \), calculer des probabilités d'événements comme \( \{X=k\} \) et \( \{X \ge k\} \), et interpréter l'espérance \( E(X) = np \) dans le contexte de l'exercice.
Exercice 2 : Suites et Fonctions (11 points)
Cet exercice en deux parties modélise l'évolution du nombre de panneaux solaires d'une centrale, d'abord avec une suite, puis avec une fonction.
Partie A - Modélisation à l'aide d'une suite
On étudie une suite arithmético-géométrique de la forme \( u_{n+1} = 0.98 u_n + 250 \).
- Algorithmique : Il faut compléter un programme Python pour déterminer un seuil.
- Raisonnement par récurrence : Une démonstration par récurrence est demandée pour prouver que la suite est majorée.
- Sens de variation et convergence : On démontre que la suite est croissante, puis on utilise le théorème de la convergence monotone.
- Suite auxiliaire : L'introduction d'une suite auxiliaire \( v_n = u_n - 12500 \) permet de prouver qu'elle est géométrique, de trouver la forme explicite de \( u_n \) et de calculer sa limite.
- Utilisation du logarithme : Un calcul final demande de résoudre l'inéquation \( u_n > 12000 \) en utilisant la fonction logarithme.
Partie B - Modélisation à l'aide d'une fonction
Une nouvelle modélisation utilise la fonction \( f(x) = 12500 - 500e^{-0.02x+1.4} \). L'étude de cette fonction exponentielle permet d'affiner les résultats, en calculant sa dérivée, son sens de variation et sa limite en \( +\infty \).
Exercice 3 : Étude de fonction et convexité (10 points)
Cet exercice est une analyse de fonction complète, mêlant lecture graphique et étude analytique.
Partie I - Lectures graphiques
À partir de la courbe de la dérivée \( f' \), il faut déterminer graphiquement le nombre dérivé en un point, étudier les variations de \( f' \) et en déduire un intervalle de convexité pour la fonction \( f \).
Partie II - Étude de fonction
On étudie la fonction \( f(x) = \ln(x^2 + x + \frac{5}{2}) \).
- Limites et dérivée : Calcul des limites aux bornes et de la fonction dérivée \( f'(x) \), faisant intervenir la dérivation de fonctions composées avec le logarithme.
- Théorème des valeurs intermédiaires : On utilise le corollaire du TVI pour justifier l'existence et l'unicité d'une solution à l'équation \( f(x) = 2 \).
- Dérivée seconde et points d'inflexion : Le calcul de la dérivée seconde \( f''(x) \) est nécessaire pour déterminer par le calcul les coordonnées des points d'inflexion de la courbe de \( f \).
Exercice 4 : Géométrie dans l'espace (10 points)
Le dernier exercice est un problème de géométrie dans l'espace, se déroulant dans un cube.
- Coordonnées et vecteurs : Lecture de coordonnées, calculs vectoriels pour placer des points comme \( M \) tel que \( \vec{BM} = \frac{1}{3}\vec{BH} \).
- Nature d'un triangle et calcul d'aire : On détermine la nature du triangle EGD en calculant la norme de ses côtés, puis on calcule son aire.
- Plan dans l'espace : Il faut justifier qu'un vecteur est normal à un plan, puis en déduire l'équation cartésienne du plan \( (EGD) \).
- Droite et projection orthogonale : On détermine la représentation paramétrique d'une droite orthogonale à un plan, puis on calcule les coordonnées du projeté orthogonal \( K \) d'un point \( M \) sur ce plan en trouvant l'intersection de la droite et du plan.
- Calcul de volume : La question finale vise à calculer le volume de la pyramide GEDM en utilisant la formule \( V = \frac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h \), où la hauteur est la distance MK.