Obtenez une analyse complète et un corrigé détaillé de ce contrôle de mathématiques de niveau Terminale Spécialité, axé sur les chapitres de la dérivation et de la convexité. Ce sujet de 55 minutes, conçu pour être traité avec une calculatrice en mode examen, est un excellent support pour réviser et valider vos compétences. Chaque exercice est décortiqué pour vous aider à comprendre les méthodes et les raisonnements attendus, des calculs techniques de dérivées à l'analyse graphique et algébrique de la convexité.

Exercice 1 : Maîtrise des techniques de dérivation

Cet exercice a pour but de vérifier votre capacité à dériver des fonctions complexes en utilisant les bonnes formules. Il est crucial de ne pas se tromper dans le choix des règles à appliquer (produit, quotient, composition).

• Question 1 : On vous demande de calculer la dérivée de la fonction \( f(x) = (1 - x^2)e^{-5x^2+2} \). Cette question évalue la maîtrise de la dérivée d'un produit de fonctions (forme \( (uv)' \)) ainsi que celle de la dérivée d'une fonction composée avec l'exponentielle (forme \( e^u \)).
• Question 2 : Il s'agit de dériver \( g(x) = \sqrt{\frac{2+x}{1-x}} \). La résolution nécessite de combiner la formule de dérivation de la racine carrée d'une fonction (forme \( \sqrt{u} \)) avec la règle de dérivation d'un quotient (forme \( (\frac{u}{v})' \)).
• Question 3 : La dernière fonction à dériver est \( h(x) = \frac{1}{(2x^2 - x + 1)^5} \). Cette question teste votre aptitude à dériver une puissance d'une fonction (forme \( u^n \), où n est négatif), ce qui est un cas particulier de la dérivation des fonctions composées.

Exercice 2 : Étude d'une fonction composée

Cet exercice se focalise sur l'analyse d'une fonction définie avec une racine carrée, \( f(x) = \sqrt{25 - 4x^2} \), en abordant la composition, les ensembles de définition et les variations.

• Question 1 : Identifier les fonctions \( u \) et \( v \) telles que \( f = u \circ v \), un prérequis pour comprendre la structure de la fonction.
• Question 2 : Déterminer l'ensemble de définition puis l'ensemble de dérivabilité. Cela implique de résoudre une inéquation du second degré (\( 25 - 4x^2 \ge 0 \)) pour s'assurer que l'expression sous la racine est positive ou nulle.
• Question 3 : Réaliser l'étude du sens de variation de \( f \). Cette étape classique demande de calculer la dérivée \( f'(x) \), d'étudier son signe et de conclure via un tableau de variations.

Exercice 3 : Analyse graphique de la dérivée seconde

Cet exercice original évalue votre capacité à interpréter graphiquement la courbe de la dérivée seconde, \( f'' \), pour en déduire des propriétés sur la fonction initiale \( f \).

• Question 1 : Trouver les points d'inflexion de la courbe de \( f \). Il faut repérer les abscisses où la courbe de \( f'' \) coupe l'axe des abscisses, car cela correspond à un changement de signe de \( f'' \).
• Question 2 : Déterminer la convexité de \( f \) sur l'intervalle \( [-1; 4] \). La convexité est directement liée au signe de \( f'' \) : si \( f'' \) est négative sur l'intervalle, la fonction \( f \) y est concave.
• Question 3 : Identifier la courbe de \( f \) parmi deux propositions. La justification doit s'appuyer sur les conclusions précédentes concernant les intervalles de concavité/convexité et la position des points d'inflexion.

Exercice 4 : Étude de fonction complète avec convexité

Cet exercice est une étude de fonction très complète autour de \( f(x) = xe^{x^2-1} \), qui mobilise l'ensemble des compétences sur la dérivation et la convexité.

• Question 1 : Calculer la dérivée première \( f'(x) \) et dresser le tableau de variations de \( f \).
• Question 2a & 2b : Calculer la dérivée seconde \( f''(x) \) afin de déterminer le plus grand intervalle sur lequel \( f \) est convexe. L'étude du signe de \( f''(x) \) est ici centrale.
• Question 2c : Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 1. C'est une application directe de la formule \( y = f'(a)(x-a) + f(a) \).
• Question 2d : Utiliser la notion de convexité pour déduire une inégalité. Cela consiste à se souvenir que sur un intervalle où une fonction est convexe, sa courbe est située au-dessus de toutes ses tangentes.