12. Théorème de comparaison

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir le premier théorème que vous avez utilisé pour les limites de fonction. C'est le théorème de comparaison. Il marche particulièrement bien quand on a affaire à des cosinus ou à des sinus.

Théorème de comparaison

Admettons que vous vouliez calculer la limite de \(x^2/(2 + \cos(x))\) quand \(x\) tend vers l'infini. Vous allez dire \(x^2\) ça tend vers l'infini et \(2 + \cos(x)\) tend vers 2. Le problème c'est que \(\cos(x)\) oscille entre 1 et -1. Donc qu'est-ce que ça fait à \(\cos(x)\) ? Impossible de le savoir. Du coup, vous n'allez pas pouvoir calculer directement cette limite. Ce qu'on va faire c'est utiliser le théorème de comparaison. On va dire cette fonction \(x^2/(2 + \cos(x))\) est au-dessus d'une fonction qui tend vers l'infini. Si ma fonction est au-dessus d'une fonction qui tend vers l'infini, alors forcément sa limite c'est aussi l'infini. Réciproquement, si la fonction est en dessous d'une fonction qui tend vers -l'infini, alors sa limite c'est -l'infini. C'est exactement le même théorème que ce que vous avez l'habitude de manipuler avec les suites.

Démonstration

Donc, comment est-ce qu'on fait pour démontrer que \(x^2/(2 + \cos(x))\) est plus grand que \(x^2/(2 + x)\) ? Les démonstrations avec \(\cos(x)\) c'est l'encadrement. Elles partent toujours du même point : \(\cos(x)\) est une fonction qui évolue entre -1 et 1. Quelle que soit la valeur de \(x\), \(\cos(x)\) sera toujours compris entre -1 et 1. Sauf que \(x\) est lui-même plus grand que \(\cos(x)\). Du coup, on peut rajouter ici que \(\cos(x)\) est plus petit que \(x\), mais il est aussi plus grand que -\(x\). On va garder juste ce côté de l'équation. On veut dire donc \(\cos(x)\) est plus petit que \(x\) et ensuite tranquillement, on va reconstruire ça. Donc on va rajouter 2 des deux côtés : \(2 + \cos(x)\) est plus petit que \(2 + x\). Et on va dire bon, j'ai plus qu'à inverser donc \(1/(2 + \cos(x))\) est plus grand que \(1/(2 + x)\). J'ai le droit d'inverser les deux côtés de l'équation à condition d'inverser aussi le signe entre les deux. Et pour finir, qu'est-ce que je fais ? Eh bien, je vais prendre les deux côtés de mon équation et je les multiplie par \(x^2\). Est-ce que ça va changer le signe de l'égalité ? Non, pourquoi ? Parce que je multiplie par \(x^2\) qui est un nombre positif et quand je multiplie par un nombre positif, ça ne change pas le signe de l'égalité. Donc vous vous retrouvez avec \(x^2/(2 + \cos(x))\) est plus grand que \(x^2/(2 + x)\). C'est terminé. Donc retenez que le point de départ d'une démonstration d'une inégalité avec \(\cos(x)\) c'est toujours celui-là.

Calcul de la limite

Maintenant qu'on a fait ça, qu'est-ce qu'on peut faire ? On va utiliser le fait que la limite de \(x^2/(2 + x)\) est beaucoup plus simple à calculer que celle de \(x^2/(2 + \cos(x))\). Pourquoi ? Parce que si je fais la limite en l'infini de \(x^2/(2 + x)\), ça me fait \(\infty/\infty\), donc c'est une forme indéterminée. Mais je sais que je peux m'en sortir en factorisant par le plus haut degré. Donc ça me fait \(x^2/x(2/x + 1)\). Et maintenant je peux simplifier le carré avec le \(x\) qui est là et je me retrouve avec \(x/(2/x + 1)\). Sauf que \(2/x\) tend vers 0, il me reste donc \(x/1\), c'est-à-dire \(x\). Cette limite est donc \(\infty\). Donc, vu que cette limite là c'est \(\infty\), par comparaison, la limite de \(x^2/(2 + \cos(x))\), qui est plus grande, c'est forcément \(\infty\). Et voilà, vous pouvez encadrer, vous avez tous les points, c'est irréprochable. On vous a mis des petits exercices en dessous, entraînez-vous, ça va faire du bien. À vous de jouer, vous êtes des champions !