Contrôle Corrigé de Mathématiques sur la Loi Binomiale - Terminale Spécialité

Ce sujet d'évaluation de mathématiques pour les élèves de Terminale spécialité est centré sur le chapitre des probabilités, et plus particulièrement sur la loi binomiale. D'une durée d'une heure, il balaye les compétences essentielles liées à ce chapitre : la reconnaissance d'un schéma de Bernoulli, la justification et l'application de la loi binomiale, le calcul de probabilités d'événements, et le calcul et l'interprétation de l'espérance. Le contrôle intègre également des notions de probabilités conditionnelles, nécessitant la construction et l'utilisation d'arbres pondérés.

Ce document est une excellente ressource pour s'entraîner et réviser avant une évaluation. Il est composé de quatre exercices variés : des problèmes de mise en situation et un questionnaire à choix multiples (QCM) pour tester la compréhension des formules et des concepts clés.

Exercice 1 : Schéma de Bernoulli et Lancers de Dé

Le premier exercice introduit le concept de schéma de Bernoulli à travers une situation de jeu de rôle. Un candidat lance trois fois un dé à 8 faces.

• Question 1 : Il est demandé de modéliser la situation avec un arbre pondéré. Chaque niveau de l'arbre représente un lancer, avec deux issues possibles : "porte" (succès, probabilité $p=5/8$) ou "puits" (échec, probabilité $1-p=3/8$).
• Question 2 : La justification du schéma de Bernoulli repose sur l'identification des trois conditions : la répétition de $n=3$ épreuves identiques et indépendantes, avec seulement deux issues possibles (succès/échec) dont les probabilités restent constantes.
• Question 3 : Il s'agit de calculer la probabilité de l'événement "le candidat réussit l'épreuve", ce qui correspond à obtenir 3 succès. En notant $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de succès, on calcule $P(X=3)$. Puisque $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(3, 5/8)$, on a $P(X=3) = \binom{3}{3} (5/8)^3 (3/8)^0 = (5/8)^3$.

Exercice 2 : Application Concrète de la Loi Binomiale

Cet exercice ancre la loi binomiale dans un contexte de contrôle de la circulation pour réduire la pollution. Il teste la capacité à modéliser une situation et à utiliser les outils de la loi binomiale.

• Question 1 : Une première étape de calcul de probabilité est nécessaire pour déterminer le paramètre $p$ de la loi. On doit justifier que la probabilité qu'un véhicule soit en infraction est $p=0.32$.
• Question 2 : On considère $n=10$ contrôles indépendants. Soit $X$ la variable aléatoire du nombre de véhicules en infraction.
  • a) Il faut justifier que $X$ suit une loi binomiale en précisant ses paramètres : $n=10$ et $p=0.32$. La justification s'appuie sur la répétition d'épreuves de Bernoulli indépendantes.
  • b) Calcul de $P(X=4)$, la probabilité d'observer exactement 4 infractions. Ce calcul se fait généralement à l'aide de la calculatrice.
  • c) Calcul de $P(X < 5)$, c'est-à-dire $P(X \le 4)$. Il s'agit d'une probabilité cumulée, également calculée avec la fonction dédiée de la calculatrice.
  • d) Calcul et interprétation de l'espérance de $X$. On utilise la formule $E(X) = n \times p = 10 \times 0.32 = 3.2$. L'interprétation est la suivante : si l'on répétait un grand nombre de fois cette série de 10 contrôles, on observerait en moyenne 3.2 véhicules en infraction par série.

Exercice 3 : Mêler Probabilités Conditionnelles et Loi Binomiale

Cet exercice complexe en deux parties traite d'une situation de passagers dans un avion. Il exige de maîtriser à la fois les arbres de probabilités conditionnelles et la loi binomiale.

• Partie A :
  • Questions 1 et 2 : Il s'agit de calculer une probabilité simple ($P(E) = 220/275 = 0.8$) et de construire l'arbre pondéré associé à la situation.
  • Question 3 : Calcul d'une probabilité d'intersection : $P(E \cap L) = P(E) \times P(L|E)$.
  • Question 4 : Application de la formule des probabilités totales pour montrer que $P(L)=0.42$.
  • Question 5 : Calcul d'une probabilité conditionnelle a posteriori : $P(E|L)$, qui demande d'inverser le conditionnement de l'arbre.
• Partie B :
  • Question 1 : On sélectionne 25 passagers et on note $X$ le nombre de passagers en classe économique. Il faut justifier que $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(25, 0.8)$, en assimilant le tirage à un tirage avec remise du fait de la grande taille de la population.
  • Question 2 : Calcul de la probabilité $P(X=10)$.
  • Question 3 : Calcul de la probabilité d'avoir au moins un passager en classe économique, $P(X \ge 1)$, qui se calcule plus facilement par l'événement contraire : $1 - P(X=0)$.

Exercice 4 : Questionnaire à Choix Multiples (QCM)

Le dernier exercice est un QCM qui évalue rapidement la maîtrise des formules et des raisonnements de base en probabilités.

• Partie I : Porte sur une variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(9, 0.03)$.
  • Question 1 : Calcul de $P(X=0)$.
  • Question 2 : Reconnaissance de la formule de la loi binomiale pour $P(X=2)$.
  • Question 3 : Traduction de "au moins un" en probabilité $P(X \ge 1) = 1 - P(X=0)$.
• Partie II : Concerne un tirage sans remise dans une urne, testant les probabilités conditionnelles.
  • Question 4 : Calcul d'une probabilité conditionnelle simple, $P_{V_1}(V_2)$.
  • Question 5 : Utilisation de la formule des probabilités totales pour trouver $P(V_2)$.