Contrôle corrigé de Mathématiques pour la Terminale Spécialité

Ce sujet de contrôle, destiné aux élèves de Terminale en spécialité mathématiques, est une excellente ressource pour s'évaluer sur les chapitres du dénombrement et des suites numériques. D'une durée indicative de 1h30 et sans calculatrice, ce devoir met l'accent sur la maîtrise des concepts fondamentaux, la rigueur du raisonnement et la capacité à appliquer différentes techniques de calcul. C'est un outil de révision parfait pour les élèves souhaitant consolider leurs acquis et se préparer efficacement aux examens.

Exercice 1 : Notions de Cardinalité et d'Ensembles

Cet exercice introductif teste la compréhension des opérations de base sur les ensembles finis. Les questions portent sur :

• Le calcul du cardinal d'un produit cartésien, \(Card(P \times Q)\), qui fait appel au principe multiplicatif.
• L'identification d'éléments communs entre deux produits cartésiens, \(P \times Q\) et \(Q \times P\), nécessitant une bonne compréhension de la notion de couple.
• Le calcul du cardinal d'une union d'ensembles, \(Card(P \cup Q)\), en utilisant la formule d'inclusion-exclusion : \(Card(P \cup Q) = Card(P) + Card(Q) - Card(P \cap Q)\).

Exercice 2 : Application du Dénombrement à l'Alphabet Braille

Un exercice concret et original qui modélise la structure des caractères Braille à l'aide des outils du dénombrement. Il s'agit de déterminer :

• Le nombre de caractères possibles ayant au moins un point en relief. Cette question se résout élégamment en utilisant le principe du dénombrement par le complémentaire : on calcule le nombre total de possibilités (\(2^6\)) et on soustrait le seul cas invalide (aucun point en relief).
• Le nombre de caractères contenant exactement trois points en relief. Il s'agit ici de choisir 3 positions parmi 6, ce qui est un problème de combinaisons typique, se calculant avec le coefficient binomial \(\binom{6}{3}\).

Exercice 3 : Problèmes Variés de Dénombrement

Cet exercice balaye plusieurs techniques de dénombrement à travers des questions indépendantes :

• Permutations : Le nombre de manières de pincer 6 cordes de guitare une seule fois correspond au nombre de permutations de 6 éléments, soit \(6!\).
• Arrangements : Le tirage successif et sans remise de 3 boules parmi 11 est un arrangement, noté \(A_{11}^3\).
• Équation avec combinaisons : La résolution de l'équation \(\binom{n+1}{2} = 2 \binom{n}{2}\) demande de manipuler les expressions des coefficients binomiaux avec des factorielles.
• Anagrammes et permutations avec répétitions : La comparaison du nombre d'anagrammes des mots "BANANE" et "CERISE" met en évidence la différence entre une permutation d'éléments distincts et une permutation avec des éléments identiques.

Exercice 4 : Étude de Limites de Suites

La deuxième partie du sujet se concentre sur l'analyse de suites numériques et de leur comportement à l'infini.

• Limite d'une suite polynomiale : Détermination de la limite de \(x_n = 3n^2 - 5n + 7\) en utilisant la méthode du terme de plus haut degré.
• Étude d'une suite homographique : Pour la suite \(v_n = \frac{3n}{n+1}\), il est demandé de prouver sa croissance (par l'étude du signe de \(v_{n+1} - v_n\)), de déterminer sa convergence et sa limite, puis de l'utiliser comme contre-exemple pour réfuter l'affirmation "Toute suite croissante diverge vers \(+\infty\)".
• Théorème des gendarmes : L'encadrement de la suite \(w_n = \frac{(-1)^n + 3}{\sqrt{n}}\) permet de démontrer sa convergence vers 0 par une application directe du théorème des gendarmes.

Exercice 5 : Suite Arithmético-Géométrique et Raisonnement par Récurrence

Ce dernier exercice est une étude complète d'une suite définie par récurrence, \(u_{n+1} = \frac{1}{5}u_n + \frac{4}{5}\).

• Raisonnement par récurrence : Il est utilisé pour démontrer que la suite est minorée par 1.
• Sens de variation et convergence : La minoration permet ensuite d'étudier le signe de \(u_{n+1} - u_n\) pour prouver que la suite est décroissante. Étant décroissante et minorée, le théorème de la convergence monotone assure qu'elle converge.
• Limite et somme des termes : La forme explicite de la suite, \(u_n = 1 + \frac{12}{5^n}\), est donnée pour calculer directement sa limite en utilisant les propriétés des suites géométriques. Enfin, il faut exprimer la somme des termes \(S_n = \sum_{k=0}^n u_k\) et en déterminer la limite, ce qui mobilise la formule de la somme des termes d'une suite géométrique.