Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir tout ce dont vous avez besoin pour résoudre les exercices avec des anagrammes. On s'y met tout de suite. Qu'est-ce que c'est qu'un anagramme ? C'est une recomposition d'un mot en utilisant les mêmes lettres. L'exercice type, c'est l'exercice qui s'affiche à main gauche : dénombrez les anagrammes du mot "Romuald".

Exercice 1 : Anagrammes du mot "Romuald"

Prenons ce mot "Romuald". Finalement, trouver les anagrammes de "Romuald", c'est décomposer ce mot. On va prendre chacune des lettres et on va les mettre dans un ensemble. Donc il y aura un "R", il y aura un "O", un "U", un "A", un "L" et un "D". Et on va recomposer un mot en utilisant toutes les lettres. Donc les 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lettres. Et pour savoir combien il y a de manières de recomposer un mot de 7 lettres à partir de 7 lettres, on va utiliser la formule de la factorielle. Le nombre de permutations, le nombre d'anagrammes possibles du mot "Romuald", c'est \(7!\).

Exercice 2 : Anagrammes du mot "Anagramme"

Combien y a-t-il d'anagrammes du mot "Anagramme" ? "Anagramme" est un mot de 9 lettres. On ne va pas se contenter de compter les permutations de "Anagramme" parce qu'il y a des lettres qui sont semblables. On regarde la fiche. Est-ce que je compte les permutations ? Première formule, donc les permutations du mot "Anagramme", ça serait \(9!\). Où est-ce qu'il y a des éléments semblables ? Donc maintenant, regardez ce qui se passe quand vous avez "Anagramme". Si vous l'écrivez et que vous permutez par exemple ces deux lettres "A", ça va vous faire un mot différent. Sauf que si vous permutez ces deux lettres "M", ça offre exactement "Anagramme". Donc vous voyez qu'il y a certaines permutations qui vont compter, d'autres qui ne vont pas compter. De manière générale, on ne comptera pas les permutations d'éléments semblables. Du coup, quand vous comptez les permutations d'un ensemble où des éléments sont semblables, vous allez faire le nombre d'éléments de l'ensemble, donc ici j'ai 9 lettres, donc 9 éléments, et ensuite vous allez compter combien il y a d'éléments semblables. En l'occurrence, des éléments semblables, il y a les "M", j'en ai deux, et les "A", j'en ai trois. Donc vous allez prendre votre nombre d'éléments, donc votre \(9!\), et vous allez le diviser par le produit de tout ce que vous pouvez avoir comme élément semblable, en l'occurrence deux éléments semblables et trois éléments semblables. Et vous avez votre résultat qui s'affiche comme par magie ici.

Exercice 3 : Anagrammes commençant et finissant par une consonne

On retourne sur notre "Romuald" et cette fois-ci on se demande quels sont le nombre d'anagrammes commençant et finissant par une consonne. Donc on va prendre notre "Romuald" et on va essayer de le décomposer un peu plus précisément. Donc, si je veux faire un mot qui commence et qui finit par une consonne, ça veut dire que la première et la dernière lettre, ça va être des consonnes, et au milieu, je vais avoir 5 lettres qui sont ce qu'on veut. Donc finalement, ce que je dois choisir moi, c'est deux lettres parmi les consonnes et 5 lettres parmi ce qui reste. On prend la fiche et on commence. Est-ce que je travaille sur un seul ensemble ou plusieurs ensembles ? Je travaille sur plusieurs ensembles évidemment. Est-ce que c'est du principe additif ou du principe multiplicatif ? C'est-à-dire, est-ce que je dois choisir ou des voyelles ou des consonnes, donc "ou" les deux, les premières et dernière lettre "ou" les autres ? Non, je dois tout choisir, donc c'est "et". Le lien entre mes deux ensembles, je dois choisir deux consonnes "et" le reste des lettres, donc c'est le principe multiplicatif. Et on commence. On commence avec la première et la dernière lettre. La première et la dernière lettre, je dois aller choisir parmi les consonnes. Donc pour la première et la dernière lettre, je travaille avec un seul ensemble qui est l'ensemble des consonnes. Je travaille avec un ordre qui compte, parce que si ça commence par "R" et ça finit par "D", c'est pas la même chose que si je les inverse. Je travaille sans remise et je travaille avec une partie seulement de l'ensemble. Donc le nombre de manières de choisir ça, c'est compter les arrangements. Donc c'est \(\frac{4!}{(4-2)!}\), donc c'est \(\frac{4!}{2!}\), donc ça fait \(4 \times 3 \times 5!\). Et je peux encadrer mon résultat et le calculer si j'ai envie.

Exercice 4 : Anagrammes commençant par une voyelle

La même question, sauf que cette fois-ci, ils vont non pas commencer par une consonne, ils vont commencer par une voyelle. Donc je prends cet exercice là et finalement le seul truc qui change, c'est que mon premier ensemble, je vais pas le choisir parmi les consonnes, mais je vais le choisir parmi les voyelles. Donc je vais le choisir ici où j'ai trois éléments. Donc ça va pas être \(\frac{4!}{(4-2)!}\), ça va être \(\frac{3!}{(3-2)!}\). Donc mon résultat, ça va être \(3 \times 5!\).

Exercice 5 : Anagrammes commençant par une consonne et finissant par une voyelle

Pour la question suivante, on veut les anagrammes commençant par une consonne et finissant par une voyelle. Donc notre "Romuald", on va le décomposer en consonnes et en voyelles. Alors les consonnes, "R", "M", "L", "D", donc il y en a quatre. Les voyelles, "O", "U", "A". On veut que le mot commence par une consonne et finisse par une voyelle. Donc je sais qu'il va y avoir la première lettre qui va être prise parmi les consonnes, la dernière qui va être prise parmi les voyelles, et les 5 au milieu qui vont prendre ce qui reste. J'attaque la fiche. Est-ce que je travaille sur plusieurs ensembles ou un seul ensemble ? Donc là évidemment, je travaille sur plusieurs ensembles, l'ensemble des consonnes, l'ensemble des voyelles. Est-ce que ça va être un principe additif ou multiplicatif ? C'est-à-dire, pour trouver les anagrammes de "Romuald", est-ce que je peux choisir une lettre "ou" une autre lettre "ou" les 5 autres ? Non, je dois choisir une lettre "et" 5 lettres "et" une lettre, donc c'est principe multiplicatif. Donc les résultats, je vais les multiplier. Et ensuite, je commence pour le premier. Est-ce que je travaille bien sur un seul ensemble ? Oui, parce que la première lettre, je dois la prendre dans l'ensemble des consonnes, donc j'ai qu'un seul ensemble. Est-ce que l'ordre compte ? Oui, l'ordre compte. Est-ce que il y a une remise ? Non, il n'y a pas de remise. Est-ce que c'est tout l'ensemble ou est-ce que c'est seulement une partie de l'ensemble ? C'est seulement une partie de l'ensemble. Donc en fait, le nombre de manières que j'ai de prendre cette consonne dans un lot de 4 consonnes, ça va être \(\frac{4!}{(4-1)!}\), donc ça fait 4. Pour la dernière, ça vient très simplement, 3. Du coup, pour celle-là, je dois choisir 5 lettres dans un ensemble qui en contient 5. Et je me pose la question, l'ordre compte ? Oui. Pas de remise. Est-ce que je travaille sur tout l'ensemble ? Oui, je travaille sur tout l'ensemble. Du coup, le nombre de permutations possibles, c'est \(5!\). Et je me retrouve à faire \(4 \times 5! \times 3\). Donc mon résultat, c'est \(4 \times 3 \times 5!\). J'encadre et c'est terminé.

Exercice 6 : Anagrammes commençant par une voyelle et finissant par une consonne

Et pour la dernière question, commençant par une voyelle et finissant par une consonne, c'est la même chose, sauf qu'on inverse les deux trucs. Donc si vous voulez, ça sera pas \(4 \times 5! \times 3\), ça sera \(3 \times 5! \times 4\), exactement le même résultat. On vous a mis tous les exercices possibles avec les anagrammes juste en dessous. Entraînez-vous, c'est vraiment le genre de sujet qui tombe au contrôle. À vous de jouer.