Contrôle Corrigé de Mathématiques : Dérivation et Convexité (Terminale Spécialité)

Ce sujet de contrôle pour la classe de Terminale spécialité mathématiques est un excellent entraînement sur les chapitres de la dérivation et de la convexité. D'une durée indicative de 1h45, il balaye les compétences essentielles à travers 5 exercices variés, alliant calculs techniques, raisonnement graphique et démonstration théorique. Ce corrigé détaillé vous permettra de vous auto-évaluer et de consolider vos connaissances sur l'étude de fonctions.

Exercice 1 : Étude de fonctions composées

Cet exercice se divise en deux parties indépendantes, centrées sur le calcul de dérivées et l'étude des variations de fonctions composées.

• Partie 1 : On étudie la fonction \( f = v \circ u \) avec \( u(x) = -2x^2 + 8x + 24 \) et \( v(x) = \sqrt{x} \). Les questions portent sur :
  • La détermination des ensembles de définition, nécessitant la résolution d'une inéquation du second degré pour trouver le domaine de \( f \).
  • Le calcul de la dérivée \( f'(x) \) en utilisant la formule de dérivation d'une fonction composée (type \( \sqrt{u} \)).
  • L'établissement du tableau de variations de \( f \) et la recherche de ses extremums.
• Partie 2 : On s'intéresse à la fonction \( f(x) = 3e^{x^3-12x} \). Il s'agit de :
  • Calculer la dérivée \( f'(x) \) en appliquant la formule de dérivation de l'exponentielle composée (type \( e^u \)).
  • En déduire le sens de variation de la fonction \( f \) sur \( \mathbb{R} \) en étudiant le signe de sa dérivée.

Exercice 2 : Lecture graphique de la dérivée

Cet exercice est un QCM de type Vrai/Faux avec justification, basé sur l'analyse de la courbe représentative de la fonction dérivée \( f' \). Il évalue la capacité à lier les propriétés de \( f \) à celles de \( f' \) :

• Sens de variation de \( f \) : à partir du signe de \( f' \).
• Extremums de \( f \) : lorsque \( f' \) s'annule en changeant de signe.
• Convexité de \( f \) : à partir du sens de variation de \( f' \).
• Points d'inflexion de \( f \) : qui correspondent aux extremums de \( f' \).

Exercice 3 : Étude complète d'une fonction et convexité

Cet exercice propose une étude de fonction approfondie de \( f(x) = 2e^{x-1} - x^2 - x \), mettant l'accent sur la notion de convexité.

1. Calcul des dérivées première \( f'(x) \) et seconde \( f''(x) \).
2. Étude de la convexité de \( f \) en analysant le signe de la dérivée seconde \( f''(x) \).
3. Démonstration de l'existence d'un unique point d'inflexion et calcul de ses coordonnées.
4. Détermination de l'équation de la tangente à la courbe au point d'inflexion.
5. Démonstration d'une inégalité \( e^{x-1} \ge \frac{1}{2}(x^2 + 1) \) pour \( x \ge 1 \), qui s'interprète en termes de position relative et peut être résolue par l'étude d'une fonction auxiliaire.

Exercice 4 : Fonction avec racine et quotient

Ici, on étudie la fonction \( f(x) = \frac{\sqrt{3x}}{x+1} \). Les étapes classiques de l'étude de fonction sont demandées :

• Détermination des ensembles de définition et de dérivabilité.
• Calcul de la fonction dérivée \( f'(x) \), qui combine la dérivation d'un quotient et d'une fonction racine.
• Construction du tableau de variations complet de \( f \), incluant la recherche des extremums.

Exercice 5 : Question de cours (ROC)

Ce dernier exercice est une question théorique qui vise à démontrer une propriété du cours sur la convexité. Il s'agit de prouver que la composée \( g \circ f \) de deux fonctions convexes \( f \) et \( g \), avec \( g \) croissante, est également une fonction convexe. La démonstration repose sur le calcul de la dérivée seconde de \( g \circ f \) et l'utilisation des hypothèses sur le signe de \( f'' \), \( g' \) et \( g'' \).