Ce sujet de contrôle de mathématiques pour la classe de Terminale Spécialité est une excellente ressource pour s'entraîner sur les chapitres clés de l'analyse : la dérivation, le raisonnement par récurrence et l'étude des suites numériques. D'une durée de 1h30, ce contrôle couvre des compétences essentielles du programme, à travers quatre exercices progressifs. Découvrez ci-dessous une analyse détaillée et la démarche de résolution pour chaque exercice de ce sujet corrigé.

Ce document est idéal pour les élèves souhaitant consolider leurs acquis, préparer un devoir surveillé ou s'entraîner pour le baccalauréat. Les mots-clés à retenir pour ce sujet sont : contrôle corrigé, sujet de maths, Terminale Spécialité, dérivation, optimisation, suites numériques, suite arithmético-géométrique, raisonnement par récurrence.

Exercice 1 : Problème d'Optimisation (6 points)

Cet exercice est un problème classique d'optimisation qui mêle géométrie et analyse de fonction. L'objectif est de minimiser l'aire totale d'un parallélépipède rectangle sous une contrainte de volume.

• Question 1 : Exprimer y en fonction de x.
  Le volume est donné par \(V = \text{longueur} \times \text{largeur} \times \text{hauteur}\). Ici, les dimensions sont \(x\), \(2x\) et \(y\). On a donc \(V = x \cdot 2x \cdot y = 2x^2y\). Sachant que \(V = 576 \text{ mm}^3\), on peut isoler \(y\) :\[ y = \frac{576}{2x^2} = \frac{288}{x^2} \]
• Question 2 : Exprimer l'aire totale \(\mathcal{A}(x)\).
  L'aire totale d'un parallélépipède rectangle est la somme des aires de ses six faces : \(\mathcal{A} = 2(x \cdot 2x + x \cdot y + 2x \cdot y) = 2(2x^2 + 3xy)\). En remplaçant \(y\) par l'expression trouvée précédemment, on obtient l'aire en fonction de \(x\) uniquement :\[ \mathcal{A}(x) = 2(2x^2 + 3x \cdot \frac{288}{x^2}) = 4x^2 + \frac{1728}{x} \]Cette fonction est définie pour \(x \in [3, 12]\).
• Question 3 : Trouver la valeur de x pour une aire minimale.
  Pour trouver le minimum de la fonction \(\mathcal{A}(x)\), il faut étudier ses variations. On calcule d'abord sa dérivée :\[ \mathcal{A}'(x) = 8x - \frac{1728}{x^2} = \frac{8x^3 - 1728}{x^2} \]Le signe de la dérivée dépend du numérateur. On résout \(\mathcal{A}'(x) = 0\), ce qui donne \(8x^3 = 1728\), soit \(x^3 = 216\), et donc \(x = 6\). En étudiant le signe de \(8x^3 - 1728\), on constate que la fonction \(\mathcal{A}(x)\) est décroissante sur \([3, 6]\) et croissante sur \([6, 12]\). Le minimum est donc atteint en \(x=6\). L'aire minimale est alors \(\mathcal{A}(6) = 4(6)^2 + \frac{1728}{6} = 432 \text{ mm}^2\).

Exercice 2 : Raisonnement par Récurrence (3 points)

Cet exercice teste la maîtrise du raisonnement par récurrence, et notamment l'importance de vérifier toutes les étapes. La proposition à étudier est \(P(n) : \ll 4^n + 1 \text{ est un multiple de } 3 \gg\).

• Question 1 : Hérédité.
  On suppose que \(P(k)\) est vraie pour un entier \(k\), c'est-à-dire qu'il existe un entier \(m\) tel que \(4^k + 1 = 3m\). On cherche à montrer que \(P(k+1)\) est vraie.\[ 4^{k+1} + 1 = 4 \cdot 4^k + 1 = 4(3m - 1) + 1 = 12m - 4 + 1 = 12m - 3 = 3(4m-1) \]Cette expression est bien un multiple de 3. L'hérédité est donc démontrée.
• Question 2 : Validité de la proposition.
  Bien que l'hérédité soit vraie, il faut vérifier l'initialisation. Pour \(n=0\), \(P(0)\) s'écrit : \(4^0 + 1 = 1+1=2\). Or, 2 n'est pas un multiple de 3. La proposition est donc fausse dès le premier rang. La conclusion est que \(P(n)\) n'est vraie pour aucun entier naturel \(n\).

Exercice 3 : Étude du sens de variation de suites (4 points)

Cet exercice porte sur une compétence fondamentale : déterminer si une suite est croissante ou décroissante.

• 1) Suite \( (u_n) \) définie par \( u_n = 1 - \frac{2}{n+3} \).
  On peut utiliser la méthode de l'étude de la fonction associée \(f(x) = 1 - \frac{2}{x+3}\). Sa dérivée est \(f'(x) = \frac{2}{(x+3)^2}\), qui est strictement positive. La fonction \(f\) est donc croissante, et par conséquent, la suite \( (u_n) \) est également croissante.
• 2) Suite \( (t_n) \) définie par \( t_{n+1} = t_n \frac{n}{n+1} \) et \( t_0 = 5 \).
  Le plus simple est de calculer les premiers termes : \( t_0 = 5 \), \( t_1 = t_0 \cdot \frac{0}{1} = 0 \), \( t_2 = t_1 \cdot \frac{1}{2} = 0 \). La suite est \( (5, 0, 0, \dots) \). On a \(t_1 < t_0\) et \(t_{n+1} = t_n\) pour \(n \geq 1\). La suite est donc décroissante (au sens large).

Exercice 4 : Suite Arithmético-Géométrique (7 points)

Cet exercice complet balaye toutes les méthodes classiques d'étude des suites arithmético-géométriques. La suite est définie par \(u_0 = 8\) et \(u_{n+1} = \frac{2}{5}u_n + 3\).

• 1) Calcul des premiers termes et conjecture.
  \( u_1 = 6.2 \), \( u_2 = 5.48 \), \( u_3 \approx 5.192 \). Comme \( u_0 > u_1 > u_2 > u_3 \), on conjecture que la suite \( (u_n) \) est décroissante.
• 2) Démonstration par récurrence.
  On montre par récurrence que pour tout \(n\), \( u_n \ge u_{n+1} \ge 5 \). Cela valide la conjecture de décroissance et montre que la suite est minorée par 5.
• 3) Étude d'une suite auxiliaire.
  On introduit la suite \( (v_n) \) définie par \( v_n = u_n - 5 \).
  1. On montre que \( (v_n) \) est une suite géométrique : \(v_{n+1} = u_{n+1} - 5 = (\frac{2}{5}u_n + 3) - 5 = \frac{2}{5}u_n - 2 = \frac{2}{5}(u_n-5) = \frac{2}{5}v_n\). La raison est \(q = \frac{2}{5}\).
  2. On en déduit l'expression explicite de \( (v_n) \). Le premier terme est \(v_0 = u_0 - 5 = 3\). Donc, \( v_n = 3 \cdot (\frac{2}{5})^n \).
  3. On trouve enfin l'expression explicite de \( (u_n) \) : \( u_n = v_n + 5 = 3 \cdot (\frac{2}{5})^n + 5 \). On peut alors calculer n'importe quel terme, par exemple \(u_{100} = 3 \cdot (\frac{2}{5})^{100} + 5\).