6. Domaine de définition et domaine de dérivabilité

Introduction

Allez les amis, on va voir comment déterminer facilement le domaine de dérivabilité d'une fonction. C'est parti !

Comprendre le domaine de dérivabilité

Ce que j'aimerais que vous compreniez, c'est que de manière générale, une fonction est dérivable partout, c'est-à-dire que de manière générale, une fonction peut être dérivée sur \(R\) (l'ensemble des nombres réels), de \(-\infty\) à \(+\infty\). Il y a seulement deux cas où il peut y avoir un problème : c'est le cas où vous avez une racine et c'est le cas où vous avez un dénominateur. Pourquoi ? Parce que pour le dénominateur, vous connaissez la règle absolue des maths : vous ne pouvez jamais diviser par 0. Donc, quand vous avez une fonction avec un dénominateur, par exemple \(1/(5x+1)\), vous devez vous méfier. Si vous avez une fonction au dénominateur, vous prenez le risque que cette fonction soit égale à 0, donc vous prenez le risque de diviser par 0. Et si vous divisez par 0, le monde s'effondre. Le premier cas à surveiller, c'est quand on a un dénominateur et le deuxième cas, c'est quand on a une racine. Pourquoi ? Parce que la racine d'un nombre négatif n'existe pas.

Exemples de détermination du domaine de dérivabilité

Prenons quelques exemples pour illustrer ces cas. 1. Considérons la fonction \(f(x) = x^2\). Cette fonction n'a ni racine ni dénominateur, donc son domaine de définition et son domaine de dérivabilité sont tous les deux \(R\). 2. Considérons maintenant la fonction \(g(x) = 1/(x^2 - 1)\). Ici, nous avons un dénominateur, donc nous devons vérifier que \(x^2 - 1\) soit différent de 0. Les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(x^2 - 1 = 0\) sont \(x = 1\) et \(x = -1\). Ces deux valeurs ne doivent pas être incluses dans le domaine de définition, donc le domaine de définition est \((- \infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)\). 3. Enfin, considérons la fonction \(h(x) = \sqrt{3x - 2}\). Ici, nous avons une racine, donc nous devons vérifier que \(3x - 2\) soit supérieur ou égal à 0. Les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(3x - 2 \geq 0\) sont \(x \geq 2/3\). Donc, le domaine de définition est \([2/3, +\infty)\). En résumé, une fonction est généralement dérivable partout, sauf dans deux cas : quand on a un dénominateur et quand on a une racine. Dans ces cas, il faut être vigilant et déterminer le domaine de dérivabilité avec soin.