Ce document propose le sujet et une analyse détaillée d'un contrôle de mathématiques pour le niveau Terminale, spécialité maths. L'évaluation, d'une durée d'une heure, porte sur plusieurs chapitres clés du programme : l'étude de suites numériques, incluant le raisonnement par récurrence, et les probabilités avec la loi binomiale et les variables aléatoires. C'est un excellent support pour s'entraîner et réviser avant une épreuve sur table.

Ce sujet de maths type baccalauréat est conçu pour évaluer la capacité des élèves à modéliser des situations concrètes, à appliquer des théorèmes fondamentaux et à mener des raisonnements logiques et structurés. Il aborde des compétences essentielles comme l'étude de suites arithmético-géométriques, le calcul de limites, la justification d'une loi de probabilité et l'interprétation de l'espérance mathématique.

Exercice 1 : Étude de suites et loi de refroidissement de Newton (10 points)

Cet exercice est un problème de modélisation classique qui utilise les suites pour étudier un phénomène physique : le refroidissement d'une tasse de café. Il permet de mettre en pratique l'ensemble des outils d'analyse des suites vus en Terminale.

• Question 1 : Il s'agit d'une question de lecture de l'énoncé et de bon sens physique. On demande de conjecturer le sens de variation de la suite \( (T_n) \) (la température qui diminue) et sa limite (la température ambiante \( M=10°C \)).
• Question 2 : Une étape de calcul simple mais essentielle. L'élève doit manipuler la relation de récurrence donnée \( T_{n+1} - T_n = k(T_n - M) \) avec les valeurs \( k = -0,2 \) et \( M = 10 \) pour aboutir à la forme \( T_{n+1} = 0,8T_n + 2 \).
• Question 3 : C'est une question-clé qui teste la maîtrise du raisonnement par récurrence. Il faut d'abord prouver que la suite est minorée par 10 (la température ambiante), c'est-à-dire \( \forall n \in \mathbb{N}, T_n \ge 10 \). Ensuite, en étudiant le signe de la différence \( T_{n+1} - T_n \), on en déduit formellement le sens de variation de la suite.
• Question 4 : Cette question fait appel à un théorème fondamental du chapitre sur les suites : le théorème de la limite monotone (ou théorème de convergence monotone). La suite \( (T_n) \) étant décroissante (démontré en Q3) et minorée (démontré en Q3), elle est donc convergente.
• Question 5 : Cette partie de l'exercice introduit une suite auxiliaire \( u_n = T_n - 10 \) pour étudier la suite arithmético-géométrique \( (T_n) \).
  • a) Il faut démontrer que \( (u_n) \) est une suite géométrique, en calculant le rapport \( \frac{u_{n+1}}{u_n} \) et en montrant qu'il est constant. On doit également préciser sa raison (0,8) et son premier terme \( u_0 \).
  • b) En utilisant l'expression explicite de la suite géométrique \( u_n = u_0 \times q^n \), on en déduit l'expression de \( T_n \) en fonction de n : \( T_n = 70 \times 0,8^n + 10 \).
  • c) Le calcul de la limite de la suite géométrique \( (u_n) \) (car \( |0,8| < 1 \)) permet de trouver la limite de \( (T_n) \), qui est 10. L'interprétation physique est simple : sur le long terme, la température du café se stabilise à la température ambiante de la pièce.
• Questions 6 et 7 (*) : Ces questions, destinées aux élèves ne bénéficiant pas d'un tiers-temps, font appel à des compétences algorithmiques et à l'utilisation de la calculatrice. Il s'agit de résoudre une inéquation \( T_n \le 40 \) à l'aide du tableur, puis d'écrire une fonction Python qui détermine le premier rang à partir duquel cette condition est remplie (algorithme de seuil).

Exercice 2 : Loi Binomiale et Variables Aléatoires (10 points)

Le second exercice est un problème de probabilités centré sur la loi binomiale. Le contexte est celui de la fraude dans les transports en commun, un cadre classique pour appliquer ce type de loi.

• Question 1 : On se place dans le cas où la probabilité d'être contrôlé est \( p = 0,05 \).
  • a) La première étape est de justifier que la variable aléatoire \( X \) (comptant le nombre de contrôles) suit une loi binomiale. Il faut pour cela vérifier les conditions d'application : la répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Les paramètres \( n=40 \) et \( p=0,05 \) doivent être explicitement mentionnés.
  • b) (*) Un calcul de probabilité typique utilisant la calculatrice : \( P(X \le 2) \).
  • c) Un autre calcul de probabilité, \( P(X \ge 1) \), qui se résout plus astucieusement en passant par l'événement contraire : \( 1 - P(X = 0) \).
• Question 2 : On introduit une nouvelle variable aléatoire \( Z \) représentant le gain algébrique du fraudeur.
  • a) Il faut justifier la relation \( Z = 400 - 110X \). C'est un exercice de modélisation où l'on doit exprimer une variable aléatoire en fonction d'une autre. Le 400€ représente l'économie totale (40 trajets à 10€) et 110X représente le coût des contrôles (amende de 100€ + prix du billet de 10€ par contrôle).
  • b) On demande de calculer l'espérance de \( Z \). En utilisant la linéarité de l'espérance, on a \( E(Z) = E(400 - 110X) = 400 - 110E(X) \). Il faut au préalable calculer l'espérance de \( X \), \( E(X) = np \).
• Question 3 : Cette dernière partie porte sur l'interprétation de l'espérance.
  • a) Pour savoir si la fraude est "favorable", il faut calculer la valeur de \( E(Z) \) et interpréter son signe. Si \( E(Z) > 0 \), en moyenne sur un grand nombre de périodes de 40 jours, la fraude rapporte de l'argent.
  • b) (*) On cherche à partir de quelle probabilité \( p \) de contrôle la fraude n'est plus favorable. Cela revient à résoudre l'inéquation \( E(Z) \le 0 \), soit \( 400 - 110(40p) \le 0 \), pour trouver la valeur seuil de \( p \).