Contrôle Corrigé de Mathématiques : Suites et Récurrence en Terminale Spécialité

Ce document présente un sujet de contrôle corrigé de mathématiques pour le niveau Terminale, spécialité mathématiques. Le sujet, d'une durée d'une heure, porte sur les chapitres fondamentaux des suites numériques et du raisonnement par récurrence. Il est composé de deux exercices complets qui balayent les compétences essentielles : étude de suites arithmético-géométriques, démonstrations par récurrence, utilisation de suites auxiliaires, calcul de sommes, et application de l'algorithmique avec le langage Python. Ce corrigé détaillé est une ressource précieuse pour les élèves souhaitant s'entraîner et maîtriser ces notions clés du programme.

Exercice 1 : Étude d'une suite arithmético-géométrique (11,5 points)

Le premier exercice se concentre sur une suite arithmético-géométrique \( (u_n) \) définie par son premier terme \( u_0 = 12 \) et la relation de récurrence :

L'analyse de cette suite se décompose en plusieurs étapes :

• Représentation graphique et conjecture : La première question invite à représenter graphiquement les premiers termes de la suite en utilisant la méthode de l'escalier (ou de la spirale), à partir de la courbe de la fonction \( f(x) = 1,25x - 5 \) et de la droite d'équation \( y = x \). Cette construction graphique permet de conjecturer la monotonie de la suite.
• Démonstration par récurrence : Il est ensuite demandé de démontrer par un raisonnement par récurrence une double inégalité pour tout entier naturel \( n \) : \( u_{n+1} < u_n \le 12 \). Cette question teste la maîtrise de la rédaction d'une récurrence, en particulier pour prouver qu'une suite est à la fois décroissante et majorée.
• Suite auxiliaire géométrique : Pour trouver la forme explicite de \( (u_n) \), l'exercice introduit une suite auxiliaire \( (w_n) \) définie par \( w_n = u_n - 20 \). Il faut démontrer que \( (w_n) \) est une suite géométrique, en précisant sa raison et son premier terme. Cette technique est un classique de l'étude des suites arithmético-géométriques.
• Expression explicite : Une fois la nature de \( (w_n) \) établie, on en déduit son expression explicite en fonction de \( n \), puis, par substitution, celle de la suite \( (u_n) \).
• Calcul de somme et algorithmique : La dernière partie de l'exercice aborde le calcul de la somme des termes \( S_n = u_0 + u_1 + \dots + u_n \). Il s'agit d'utiliser l'expression explicite de \( u_n \) et la formule de la somme des termes d'une suite géométrique. Enfin, une question d'algorithmique demande de compléter une fonction Python qui calcule cette somme et de déterminer sa valeur pour \( n=10 \).

Exercice 2 : Étude d'une suite et seuil (8,5 points)

Le second exercice propose l'étude d'une suite \( (a_n) \) dont la relation de récurrence est légèrement plus complexe, impliquant un terme en \( n \) :

Cet exercice permet d'approfondir les techniques vues dans la première partie :

• Calcul des premiers termes : Une question préliminaire consiste à calculer \( a_1, a_2 \) et \( a_3 \) pour se familiariser avec la suite.
• Raisonnement par récurrence : On doit démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \( n \), on a \( a_n \ge 5 \). Cette démonstration permet ensuite de déduire facilement le sens de variation de la suite \( (a_n) \).
• Utilisation d'une suite auxiliaire : Similairement à l'exercice 1, on introduit une suite auxiliaire \( (v_n) \) définie par \( v_n = a_n + n - 4 \). L'objectif est de prouver que \( (v_n) \) est une suite géométrique, ce qui simplifie grandement l'étude.
• Expression du terme général : En utilisant la forme explicite de \( (v_n) \), on en déduit l'expression de \( a_n \) en fonction de \( n \), qui est \( a_n = 2^n - n + 4 \).
• Algorithme de seuil : La question finale fait appel à une méthode de balayage (ou algorithme de seuil) pour déterminer le premier rang \( n \) à partir duquel le terme \( a_n \) dépasse la valeur de 1200. Cela requiert l'utilisation de la calculatrice ou d'un raisonnement algorithmique pour trouver la solution.

En somme, ce sujet de contrôle est un excellent outil de révision sur les suites et la récurrence, couvrant à la fois les aspects théoriques (démonstrations, formules) et pratiques (algorithmique, calculs).