Découvrez un sujet de contrôle complet sur la fonction logarithme, niveau Terminale spécialité mathématiques. Ce devoir de 2 heures est idéal pour s'entraîner et réviser en profondeur ce chapitre essentiel du programme. Le sujet est structuré en trois exercices progressifs qui balayent l'ensemble des compétences clés : résolution d'inéquations, étude de fonction détaillée (limites, dérivées, convexité, TVI), et analyse d'une suite récurrente associée à une fonction logarithmique, incluant une partie algorithmique. Ce contrôle corrigé de maths vous permettra de tester vos connaissances et de vous préparer efficacement pour le baccalauréat.

Exercice 1 : Résolution d'une inéquation logarithmique

Cet exercice introductif est un classique sur la manipulation des propriétés de la fonction logarithme népérien. L'objectif est de résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'inéquation suivante : \( \ln(x^3) \leq \ln(x) + \ln(27x + 20) \). Pour réussir, il faut maîtriser plusieurs étapes cruciales :

• Déterminer l'ensemble de définition de l'inéquation en s'assurant que les arguments des logarithmes sont strictement positifs.
• Utiliser les propriétés algébriques du logarithme, telles que \(\ln(a) + \ln(b) = \ln(ab)\) et \(n\ln(x) = \ln(x^n)\), pour simplifier l'expression.
• Appliquer la croissance de la fonction \(\ln\) pour se ramener à une inéquation polynomiale.
• Résoudre l'inéquation du second degré obtenue et conclure en tenant compte du domaine de définition initial.

Exercice 2 : Étude complète d'une fonction avec logarithme

Le deuxième exercice est une étude de fonction approfondie, un pilier du programme de Terminale. On analyse la fonction \(f\) définie sur \(]0; +\infty[\) par : \( f(x) = x^2 - 6x + 4\ln(x) \). Les questions guident l'élève à travers une analyse complète :

• Limites et asymptotes : Il faut calculer les limites de \(f\) en \(0^+\) et en \(+\infty\), puis interpréter graphiquement les résultats en termes d'asymptote verticale.
• Dérivation : On demande de justifier la dérivabilité, puis de calculer la dérivée première \(f'(x)\) et la dérivée seconde \(f''(x)\). Le calcul de \(f'(x)\) mène à une expression rationnelle dont il faut étudier le signe.
• Tableau de variations : À partir du signe de \(f'(x)\), il faut construire le tableau de variations complet de la fonction \(f\), en y indiquant les limites et les extremums locaux.
• Théorème des valeurs intermédiaires : Une question classique d'application du corollaire du TVI pour démontrer que l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution sur son intervalle de définition.
• Convexité et points d'inflexion : L'étude du signe de la dérivée seconde \(f''(x)\) permet de déterminer les intervalles où la fonction est convexe ou concave, et de trouver les coordonnées exactes du point d'inflexion de la courbe \(C_f\).
• Position relative : La dernière question, plus originale, demande d'étudier la position relative de la courbe par rapport à une sécante, en lien direct avec la notion de convexité.

Exercice 3 : Fonction, Suite récurrente et Algorithmique

Ce dernier exercice, très complet, fait le lien entre l'étude de fonctions, les suites numériques et l'algorithmique. On s'intéresse d'abord à la fonction \(f\) définie par \(f(x) = \ln\left(\frac{3x+1}{x+1}\right)\), puis à la suite \((u_n)\) définie par \(u_{n+1} = f(u_n)\).

• Partie A - Étude de la fonction \(f\) : Cette partie reprend les bases de l'étude de fonction : calcul des limites aux bornes (avec asymptotes verticale et horizontale), calcul de la dérivée et étude des variations pour dresser le tableau de variation.
• Partie B - Étude de la suite \((u_n)\) : On analyse le comportement de la suite récurrente. Cela implique :
  • Une démonstration par récurrence pour prouver que la suite est bornée.
  • L'étude de la monotonie de la suite.
  • L'application du théorème de la convergence monotone pour justifier que la suite \((u_n)\) converge vers une limite finie \(\ell\).
• Partie C - Recherche de la limite \(\ell\) : La limite \(\ell\) est un point fixe de \(f\), c'est-à-dire une solution de l'équation \(f(x) = x\). Pour la trouver, on introduit une fonction auxiliaire \(g(x) = f(x) - x\). L'étude de cette fonction \(g\) et une nouvelle application du TVI permettent de prouver l'existence et l'unicité d'une solution non nulle \(\alpha\). La fin de l'exercice propose de compléter un algorithme en Python visant à déterminer une valeur approchée de cette limite.