Ce document propose un sujet de contrôle complet sur le chapitre des statistiques à deux variables, destiné aux élèves de Terminale en option Maths Complémentaires. D'une durée d'1h30, ce devoir aborde toutes les notions essentielles du chapitre, de l'ajustement affine à l'ajustement exponentiel, en passant par l'interprétation des modèles et la distinction entre interpolation et extrapolation. C'est un excellent support pour s'entraîner et réviser avant une évaluation.
Le sujet est décomposé en quatre exercices qui permettent de balayer les compétences clés :
- Calcul du point moyen d'un nuage de points.
- Détermination d'une droite de régression à la calculatrice.
- Utilisation du changement de variable \( z = \ln(y) \) pour un ajustement exponentiel.
- Exploitation d'un modèle pour effectuer des prédictions (interpolation/extrapolation).
- Résolution d'équations et d'inéquations avec les fonctions exponentielle et logarithme.
Exercice 1 : Question de cours
Le premier exercice est une question de cours fondamentale. Il s'agit de démontrer une propriété essentielle de la droite de régression. Pour une série statistique à deux variables \( (x_i; y_i) \), on donne l'équation de la droite de régression de \( y \) en \( x \) sous la forme \( y = ax + b \), avec la formule \( b = \bar{y} - a\bar{x} \). La tâche consiste à prouver que le point moyen \( G(\bar{x}; \bar{y}) \) appartient bien à cette droite. Cette démonstration simple permet de vérifier la compréhension de la construction de la droite des moindres carrés.
Exercice 2 : Vrai ou Faux
Cet exercice teste la compréhension fine des concepts à travers quatre affirmations à justifier. Il ne suffit pas de répondre par vrai ou faux, chaque réponse doit être rigoureusement argumentée.
- La première affirmation porte sur le calcul des coordonnées du point moyen d'un nuage de points donné.
- La deuxième explore les conséquences d'un ajustement par changement de variable \( z = \ln(y) \). Si la droite de régression est \( z = 0,2x + 1 \), comment la variable \( y \) évolue-t-elle lorsque \( x \) augmente de 1 ? Cela mobilise les propriétés des fonctions logarithme et exponentielle.
- La troisième affirmation interroge sur la différence capitale entre interpolation et extrapolation lors d'une estimation.
- La dernière question fait le lien entre le signe du coefficient directeur de la droite d'ajustement sur les données transformées \( (x_i; \ln y_i) \) et le sens de variation de la variable \( y \).
Exercice 3 : Étude d'un cas concret (Désintégration de l'iode 131)
Cet exercice, le plus long du sujet, est une mise en application des statistiques à deux variables dans un contexte de sciences physiques : la décroissance radioactive de l'iode 131. Les données représentent l'activité \( A \) d'une source en fonction du temps \( t \).
Partie A : Comparaison de deux ajustements
On compare deux modèles pour décrire l'évolution de l'activité :
- Un ajustement affine : on demande de calculer le point moyen \( G_1 \) du nuage \( (t_i; A_i) \), puis d'utiliser la droite de régression donnée par la calculatrice (\( A = -21,4t + 380,9 \)) pour prédire quand l'activité deviendrait nulle. Il faut ensuite critiquer la pertinence de ce modèle sur le long terme.
- Un ajustement exponentiel : on effectue le changement de variable \( z = \ln A \). Il faut compléter un tableau de valeurs, calculer le nouveau point moyen \( G_2 \), puis trouver l'équation de la droite de régression de \( z \) en \( t \). En comparant les coefficients de corrélation, on justifie le choix de ce second modèle. Finalement, on doit déduire l'expression du modèle exponentiel, de la forme \( A(t) = 400 e^{-0,0869 t} \).
Partie B : Exploitation du modèle exponentiel
Une fois le modèle exponentiel validé, on l'utilise pour répondre à des questions concrètes :
- Estimer l'activité à un instant donné (interpolation).
- Déterminer la demi-vie de l'iode 131, ce qui revient à résoudre une équation avec exponentielle : \( A(t) = A(0)/2 \).
- Calculer la durée nécessaire pour que l'activité passe sous un certain seuil réglementaire, ce qui implique la résolution d'une inéquation avec exponentielle.
Exercice 4 : Exercices d'application directe
Ce dernier exercice est scindé en deux parties indépendantes pour vérifier des compétences de base.
Partie A
À partir d'une courte série statistique, il est demandé de représenter le nuage de points, de calculer le point moyen, puis d'utiliser la calculatrice pour obtenir l'équation de la droite de régression et le coefficient de corrélation. Une estimation par interpolation est ensuite demandée.
Partie B
Ici, on part du résultat d'un ajustement après changement de variable. Connaissant la droite de régression \( z = -0,5x + 3 \) avec \( z = \ln y \), il faut retrouver l'expression de \( y \) en fonction de \( x \), qui sera de la forme \( y = K e^{-0,5x} \). Pour finir, on résout une équation simple pour trouver la valeur de \( x \) pour laquelle \( y=1 \).