Contrôle Corrigé de Maths Complémentaires : Statistiques à Deux Variables

Ce sujet de contrôle pour la classe de Terminale en spécialité Maths Complémentaires est entièrement dédié au chapitre des statistiques à deux variables. Il évalue la capacité des élèves à analyser des séries de données, à choisir et appliquer un modèle d'ajustement approprié (affine ou exponentiel), et à interpréter les résultats. Ce document est une excellente ressource pour la révision, proposant des exercices variés incluant un QCM, une étude de cas sur le refroidissement d'un café, et une analyse de la croissance démographique d'une commune. Les mots-clés importants abordés sont : nuage de points, point moyen, droite de régression, méthode des moindres carrés, coefficient de corrélation, ajustement exponentiel, changement de variable logarithmique, corrélation et causalité.

Exercice 1 : Quatre questions rapides (QCM)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples conçu pour vérifier rapidement la maîtrise des concepts fondamentaux du chapitre.

• Question 1 : Elle porte sur le calcul des coordonnées du point moyen \(G(\bar{x}, \bar{y})\) d'un nuage de quatre points. Il s'agit d'appliquer la formule de la moyenne pour les abscisses et les ordonnées. Pour les points \((1; 2), (2; 5), (3; 5)\) et \((6; 8)\), on a \(\bar{x} = \frac{1+2+3+6}{4} = 3\) et \(\bar{y} = \frac{2+5+5+8}{4} = 5\). La bonne réponse est donc \((3; 5)\).
• Question 2 : Cette question teste une propriété essentielle de la droite de régression obtenue par la méthode des moindres carrés : elle passe systématiquement par le point moyen \(G\) du nuage de points.
• Question 3 : Il s'agit d'interpréter un coefficient de corrélation linéaire \(r \approx -0,97\). Une valeur si proche de -1 indique une corrélation linéaire très forte et négative entre les deux variables (temps d'écran et durée de sommeil). Cela ne prouve cependant en aucun cas un lien de cause à effet.
• Question 4 : Cette question aborde le changement de variable logarithmique pour linéariser une relation exponentielle. Si \(y = 5 e^{0,2x}\), alors en appliquant la fonction logarithme népérien, on obtient \(z = \ln(y) = \ln(5 e^{0,2x}) = \ln(5) + \ln(e^{0,2x}) = \ln(5) + 0,2x\).

Exercice 2 : Le café refroidit

Cet exercice de modélisation étudie le phénomène physique du refroidissement d'un café, qui suit une loi de type exponentiel. L'objectif est de linéariser les données pour trouver le modèle.

• Changement de variable : On effectue un premier changement de variable affine pour étudier l'écart de température \(y = \theta - 20\) avec la température ambiante, puis un second, logarithmique, \(z = \ln(y)\).
• Calcul du point moyen : Il faut ensuite calculer les coordonnées du point moyen \(G(\bar{t}, \bar{z})\) du nuage de points transformé.
• Ajustement affine : On exploite les résultats d'un logiciel qui donne le coefficient de corrélation \(r \approx -0,998\) et le coefficient directeur de la droite de régression \(a = -0,10\). La forte valeur de \(r\) justifie la pertinence de l'ajustement affine sur les points \((t; z)\). En utilisant le fait que la droite passe par \(G\), on détermine son ordonnée à l'origine \(b\) et son équation complète \(z = -0,10t + b\).
• Retour au modèle exponentiel : À partir de l'équation de la droite, on effectue les transformations inverses pour en déduire le modèle exponentiel de la température : \(\theta(t) \approx 20 + 60e^{-0,1t}\). Cela demande de maîtriser les relations entre les fonctions exponentielle et logarithme.
• Utilisation du modèle : La dernière question consiste à utiliser le modèle pour : a) estimer la température au bout de 10 minutes (calcul d'image) et b) déterminer le temps nécessaire pour que le café atteigne 35°C (calcul d'antécédent), ce qui mène à la résolution d'une équation de la forme \(A = B + Ce^{kt}\).

Exercice 3 : Une commune qui grandit

Ce problème en deux parties se concentre sur l'analyse de l'évolution de la population d'une ville, d'abord avec un ajustement affine, puis en questionnant la notion de causalité.

Partie A : Un ajustement affine

On modélise l'augmentation de la population par une droite. Les étapes sont classiques pour un ajustement par la méthode des moindres carrés :

• Représenter graphiquement le nuage de points \((x_i; y_i)\).
• Calculer les coordonnées du point moyen \(G\).
• Calculer le coefficient directeur \(a\) de la droite de régression en utilisant la formule de covariance : \(a = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2}\). Un tableau est fourni pour guider les calculs.
• Déterminer l'équation de la droite \(y = ax + b\) et la tracer.
• Utiliser le modèle pour réaliser une extrapolation (estimation en dehors de l'intervalle des données) et discuter de la prudence nécessaire pour de telles prédictions.

Partie B : Corrélation et causalité

Cette partie, plus réflexive, met en évidence un point crucial en statistiques : une forte corrélation n'implique pas une causalité. Bien que le coefficient de corrélation entre la population et le nombre d'abonnés à la médiathèque soit élevé (\(r' \approx 0,98\)), on ne peut pas conclure laquelle des deux explications proposées est la bonne sans informations supplémentaires.

Exercice 4 : Redresser un nuage de points

Ce dernier exercice regroupe trois questions indépendantes qui synthétisent les techniques de changement de variable.

• De l'ajustement linéaire au modèle exponentiel : Étant donné un ajustement affine sur les données transformées \(z = \ln y\), de la forme \(z = 0,4x + 1,5\), on doit retrouver le modèle exponentiel d'origine \(y = K e^{0,4x}\) où \(K = e^{1,5}\).
• Du modèle exponentiel à l'ajustement linéaire : Partant d'un modèle \(y = 300 \times 0,8^x\), il faut montrer que \(\ln y\) est une fonction affine de \(x\) en utilisant les propriétés du logarithme : \(\ln y = \ln(300) + x \ln(0,8)\).
• Choix du meilleur ajustement : Face à deux coefficients de corrélation, \(r_1 \approx 0,91\) pour la série \((x; y)\) et \(r_2 \approx 0,998\) pour la série \((x; \ln y)\), on doit justifier quel est le meilleur modèle. L'ajustement est d'autant meilleur que le coefficient de corrélation est proche de 1 ou -1. L'ajustement exponentiel est donc nettement plus pertinent.