Introduction
Allez les amis, on est parti pour parler de fonction linéaire et de fonctions affines, de savoir comment les reconnaître et à quoi elles ressemblent.
Fonction affine
Une fonction affine, de manière générale, s'écrit \(f(x) = ax + b\). Dans votre cours, vous avez peut-être \(mx + q\), vous avez peut-être \(x_1x + x_2\), peu importe. On a un premier nombre réel qui multiplie \(x\) plus un deuxième nombre réel.
Fonction linéaire
Une fonction linéaire, c'est le cas particulier de cette fonction. Donc ça sera toujours une fonction qui vaudra \(ax\), et le point \(b\), enfin la valeur du \(b\), sera zéro. Donc pour qu'on ait une fonction affine, il faut qu'on ait \(ax + b\) avec \(b\) qui n'est pas égal à zéro. Et pour que ça soit une fonction linéaire, il faut qu'on ait \(ax + 0\), donc juste \(ax\), avec \(a\) qui est réel.
Prenons le premier exemple \(f(x) = 3x + 2\). J'ai évidemment la forme d'une fonction affine. La question c'est de voir que \(a\) et \(b\) dans ce cas là. C'est facile, on sait que \(b\) est celui qui est tout seul ici, donc ça c'est \(b\). \(a\), c'est ce qu'il y a devant le \(x\), donc c'est trois. On peut même pousser plus loin en disant que \(b\) son petit nom c'est l'ordonnée à l'origine et que \(a\) son petit nom c'est le coefficient directeur.
Je continue, \(g(x) = -5x\). Là, ça commence. J'ai bien quelque chose qui multiplie \(x\), mais j'ai rien derrière. Donc a priori, je suis sous la forme d'une fonction linéaire. Que vaut \(a\)? Que vaut \(b\)? L'erreur courante, ça va être de dire non, \(a\) vaut cinq. Non, \(a\) c'est ce qu'il y a devant \(x\), donc votre \(a\) ici vaut moins 5. Donc ici, j'ai \(-5x + 0\), autrement dit je suis face à une fonction linéaire.
On continue, \(h(x) = 2x^2 + a\). C'est super, j'ai un \(a\), mais non, vous n'avez pas \(a\), parce que \(a\) c'est ce qu'il y a devant \(x\), or ici, il n'est pas devant \(x\), il est devant \(x^2\). Donc ce truc là, si j'ai un \(x^2\), ce n'est ni une fonction affine, ni une fonction linéaire.
Attention, \(h(x) = 3 - x\). Là, ça commence à devenir marrant, parce que vous vous dites, j'ai \(a = 3\), donc j'ai un \(b = -x\), qui pourrait être mon \(-ax\), donc il pourrait être mon \(a\). Ce n'est pas dans le bon ordre, ce n'est pas grave, vous avez le droit de remettre dans l'ordre qui vous convient. \(3 - x\) devient \(-x + 3\) et là je reconnais bien la fonction affine. Mon \(b\) vaut 3 et mon \(a\) vaut -1. Donc cette fonction \(h(x)\) est bien une fonction affine.
On continue, \(i(x) = -2\). Là, ça commence à devenir compliqué. Donc \(-2\), il n'y a pas de \(x\), donc vous dites, il n'y a pas de \(b\). C'est vrai, une fonction affine, c'est \(ax + b\). Mais en effet, \(i(x) = 0x - 2\). Donc techniquement parlant, j'ai jamais dit que \(a\) devait être un réel non nul. \(a\) est un réel, or il se trouve que 0 est un nombre réel. Donc j'ai bien \(i(x)\) sous la forme \(0x - 2\), c'est à dire \(ax + b\), avec \(a\) valant zéro et \(b\) valant moins deux. Donc quand j'ai cette fonction \(i(x)\) qui vaut moins deux, je suis bien face à une fonction affine.
Pareil pour \(j(x) = 0\). \(0\) c'est \(0x + 0\), c'est une fonction linéaire, même si j'ai pas \(a\) et \(b\) qui sont non nuls. Donc là, je suis face à une fonction linéaire.
On vous invite à faire des petits exercices en dessous qui commencent tranquillement comme ça, qui sont de plus en plus compliqués. Entraînez-vous, c'est que le début, ça va être terrible, vous êtes des champions.