Équation changement de variable avec ln et exponentielle: exercices corrigés 🚀

Table des matières

Exercices corrigés - Changement de variable ln exponentielle

Résoudre une équation polynomiale du second degré avec les logarithmes naturels

Introduction au changement de variable

Allez les amis, on est parti pour une petite compétence plaisir sur les LN, un truc vraiment classique, genre deux points au contrôle, où si vous ne l'avez pas fait, il y a vraiment très peu de chances que vous y arriviez. Comment résoudre une équation polynomiale du second degré avec LN en faisant un changement de variable ? On se fait ça tout de suite. Pour résoudre une équation de ce type-là, soit l'énoncé va vous guider, soit il faut que vous le deviniez. La solution, c'est de dire : bon, je vais poser... tranquillement, \( X \) égal \( \ln(x) \). De la même manière qu'en première, vous aviez posé \( X = \cos(x) \), ou \( X = e^x \), ici, vous allez poser \( X = \ln(x) \). Et on va voir ce que devient l'équation.

Mon -6, il ne va pas bouger, j'ai toujours un moins 6. Mon \( \ln(x) \) va devenir \( X \). Et mon \( (\ln(x))^2 \), vu que \( \ln(x) \), c'est \( X \), ça va me faire \( X^2 \). Et là, je suis extrêmement content. Pourquoi ? Parce que je me retrouve avec un petit polynôme du second degré que j'ai envie de résoudre en trois secondes. Mais je vous aime et je sais que pour certains, c'est un peu la galère. Du coup, on va se le faire.

Calcul du discriminant et détermination des racines

Pour résoudre une équation du second degré qui vaut 0, on calcule d'abord le discriminant, souvent noté \( \Delta \). Ensuite, on détermine les racines à l'aide de la formule \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \). Ces racines sont les solutions de l'équation. \( x^2 - x - 6 = 0 \). Ici, le discriminant \( \Delta \) vaut \( b^2 - 4ac \). Donc ce qu'il y a devant le \( x^2 \), \((-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) \), et cela nous donne tout simplement 25. Et quand \( \Delta \) fait 25, on est très content, parce que 25, c'est un carré parfait, donc nos racines, elles vont être jolies.

Voici les racines : \( x_1 \) et \( x_2 \) se calculent avec \( -b \), donc 1, moins ou plus la racine de \( \Delta \), donc 5, divisé par \( 2a \), donc divisé par 2. Cela nous donne \( x_1 = \frac{-1 - 5}{2} \) soit -3, et \( x_2 = \frac{-1 + 5}{2} \) soit 3. Je sais donc que les solutions de ce système, c'est -3 et 3, et on pourrait s'arrêter là, mais on ne s'arrête surtout pas là.

Réintégration du changement de variable

Pourquoi ? Parce que n'oubliez pas que vous avez fait un changement de variable, et qu'en fait, ce ne sont pas les valeurs de \( x \) que nous avons trouvées, mais celles de \( X \). Du coup, de la même manière qu'on a introduit le changement de variable, on va maintenant le défaire. Donc, au lieu de remplacer \( X \) par \( \ln(x) \), on va remplacer \( X \) par \( \ln(x) \). Je me retrouve ainsi avec \( \ln(x_1) = -3 \) et \( \ln(x_2) = 3 \).

Pour se débarrasser des logarithmes, je vais composer par l'exponentielle de chaque côté. L'exponentielle et le logarithme népérien ayant la particularité de s'annuler mutuellement, je me retrouve donc, du coup, avec \( x_1 = e^{-3} \) et \( x_2 = e^3 \).

Tout cela est fait de manière très souple, dans la joie et la bonne humeur, comme les petits exercices qui vous attendent juste en dessous. À vous de jouer, vous êtes vraiment des champions!