Exercice 1 : Le sens des moindres carrés

Cet exercice d'introduction de ce contrôle de maths sur les statistiques à deux variables a pour but de faire comprendre de manière calculatoire le principe de la méthode des moindres carrés. On part de trois points donnés \(A(1;2)\), \(B(2;3)\) et \(C(3;5)\) et on cherche la droite d'équation \(y = 1,5x + b\) qui s'ajuste au mieux à ces points. Cet exercice est un classique pour comprendre les fondements de la régression linéaire.

• Question 1 : Il est demandé de calculer les coordonnées du point moyen \(G\) du nuage de points. Cela revient à calculer la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées des points A, B et C.
• Question 2 : Cette question consiste à établir l'expression de la somme des carrés des écarts verticaux, notée \(S(b)\), entre les points et la droite. L'expression de \(S(b)\) est donnée par \(S(b) = (2 - (1,5 \times 1 + b))^2 + (3 - (1,5 \times 2 + b))^2 + (5 - (1,5 \times 3 + b))^2\). Il faut développer et simplifier cette expression pour démontrer que \(S(b) = 3b^2 - 2b + 0,5\). Cette étape requiert la maîtrise des identités remarquables.
• Question 3 : L'objectif est de trouver la valeur de \(b\) qui minimise la fonction \(S(b)\). Comme \(S(b)\) est un polynôme du second degré, sa représentation est une parabole. Trouver le minimum revient à trouver l'abscisse du sommet de la parabole. On peut utiliser la formule du sommet ou étudier les variations de la fonction.
• Question 4 : Une propriété fondamentale de la droite de régression par la méthode des moindres carrés est qu'elle passe toujours par le point moyen du nuage de points. Cette dernière question de l'exercice demande de vérifier cette propriété en montrant que les coordonnées du point \(G\), calculées à la première question, satisfont bien l'équation de la droite trouvée.

Exercice 2 : Le climat se réchauffe

Ce deuxième exercice de ce sujet de maths est une application concrète des statistiques à deux variables à une problématique environnementale : le lien entre la concentration de CO2 dans l'atmosphère et l'élévation de la température. Ce problème, typique de l'épreuve de maths complémentaires, mêle calculs, utilisation de la calculatrice et analyse critique des résultats.

Partie A : Un ajustement affine

• Question 1 : Représentation du nuage de points \((x_i ; y_i)\) correspondant aux données du tableau. Cette étape permet de visualiser la relation entre les deux variables.
• Question 2 : Calcul des coordonnées du point moyen \(G\) du nuage, qui représente le centre de gravité de la distribution.
• Question 3 : C'est le cœur de l'exercice. Il faut utiliser les fonctionnalités statistiques de la calculatrice pour déterminer l'équation de la droite de régression de \(y\) en \(x\) par la méthode des moindres carrés, sous la forme \(y = ax + b\). Il est également demandé de calculer le coefficient de corrélation linéaire \(r\) et d'interpréter sa valeur, qui indique la force et le sens du lien linéaire entre les deux variables.
• Question 4 : Cette question évalue la capacité à utiliser le modèle d'ajustement pour faire des prédictions. On estime d'abord une valeur par interpolation (pour une concentration de 400 ppm, comprise dans la plage des données), puis une autre par extrapolation (pour 500 ppm, en dehors de la plage). La comparaison avec une valeur observée permet de juger de la pertinence du modèle.

Partie B : Regard critique

• Question 5 : Il s'agit de distinguer l'interpolation de l'extrapolation et d'expliquer pourquoi l'extrapolation est un exercice plus risqué et ses résultats moins fiables.
• Question 6 : Une question essentielle en statistiques : la distinction entre corrélation et causalité. L'élève doit expliquer pourquoi une forte corrélation n'implique pas nécessairement un lien de cause à effet, tout en justifiant pourquoi, dans le cas du CO2, le lien causal est avéré par les scientifiques.

Exercice 3 : Du chocolat aux prix Nobel

Ce dernier exercice de ce contrôle corrigé, plus original, propose d'étudier la corrélation entre la consommation de chocolat d'un pays et le nombre de prix Nobel qu'il a obtenus. L'objectif est de mettre en évidence les pièges de l'interprétation statistique et la notion de corrélation fallacieuse.

• Question 1 & 2 : Comme dans l'exercice précédent, on commence par calculer le point moyen \(G\) puis on utilise la calculatrice pour obtenir la droite de régression de \(y\) en \(x\) et le coefficient de corrélation \(r\).
• Question 3 : On utilise à nouveau le modèle pour faire des prédictions, une interpolation et une extrapolation, afin de commenter la pertinence des résultats obtenus.
• Question 4 : Cette question introduit la notion de point aberrant (ou 'outlier'). En retirant les données de la Suède, on recalcule le coefficient de corrélation \(r'\). La comparaison entre \(r\) et \(r'\) permet de constater l'influence d'un seul point sur la force de la corrélation.
• Question 5 : La conclusion de l'exercice porte sur l'interprétation abusive d'une corrélation. Il faut expliquer pourquoi le titre de journal 'Manger du chocolat rend intelligent' est une conclusion hâtive et proposer une 'variable cachée' (comme le niveau de développement économique du pays) qui pourrait expliquer la corrélation observée entre les deux variables initiales.