Obtenez une analyse détaillée et le corrigé de ce sujet de maths de Terminale (option maths complémentaires) portant sur le chapitre des lois de probabilités discrètes. Ce contrôle, d'une durée d'1h30, est un excellent entraînement pour maîtriser les concepts clés tels que la loi de Bernoulli, la loi uniforme, la loi géométrique, ainsi que les probabilités conditionnelles.

Ce document vous permettra de vous évaluer sur des exercices types et de consolider vos connaissances sur les variables aléatoires, leur espérance, leur variance, et l'utilisation des arbres pondérés.

Exercice 1 : Vrai ou Faux

Cet exercice est un QCM (Question à Choix Multiples) où chaque affirmation doit être justifiée. Il balaye rapidement plusieurs lois et concepts fondamentaux.

• Affirmation 1 : Teste la connaissance de la formule de l'écart-type d'une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre \(p\). La variance est \(V(X) = p(1-p)\) et l'écart-type \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\). Pour \(p=0.2\), on calcule \(\sigma(X) = \sqrt{0.2 \times 0.8} = \sqrt{0.16} = 0.4\). L'affirmation est donc vraie.
• Affirmation 2 : Concerne l'espérance d'une loi uniforme discrète sur l'ensemble \${1, 2, ..., n\}\(. La formule est \)E(X) = \frac{n+1}{2}\(. Ici, avec \)n=10\(, on a \)E(X) = \frac{10+1}{2} = 5.5$, et non 5. L'affirmation est donc fausse.
• Affirmation 3 : Porte sur le calcul d'une probabilité conditionnelle. Il faut utiliser la définition : \(P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\). Avec les valeurs données, \(P_B(A) = \frac{0.2}{0.4} = 0.5\). L'affirmation est vraie.
• Affirmation 4 : Évalue la compréhension de la loi géométrique. On demande de calculer \(P(X \le 2)\). Cela correspond à la somme \(P(X=1) + P(X=2) = p + (1-p)p = 2p - p^2\). Cette expression n'est égale à \(2p\) que si \(p=0\), ce qui n'est pas le cas pour une loi de probabilité. L'affirmation est fausse.

Exercice 2 : Questions indépendantes

Cet exercice regroupe plusieurs questions indépendantes qui permettent de vérifier la maîtrise de différents outils et lois de probabilité.

• Question 1 : Dénombrement avec le triangle de Pascal. Il faut savoir le construire ligne par ligne, puis l'utiliser pour lire des coefficients binomiaux comme \(\binom{6}{2}\) et \(\binom{6}{4}\). L'égalité de ces deux coefficients s'explique par la propriété de symétrie \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\).
• Question 2 : Modélisation par une loi uniforme. Le lancer d'un dé équilibré est un cas d'école. On identifie la loi, puis on calcule une probabilité d'événement (\(P(X \ge 6)\)) et l'espérance mathématique, en n'oubliant pas d'interpréter ce résultat comme la valeur moyenne obtenue sur un grand nombre de lancers.
• Question 3 : Étude approfondie de la loi de Bernoulli. C'est un exercice classique où l'on doit retrouver le paramètre \(p\) de la loi à partir de son écart-type \(\sigma(X)\). On part de la relation \(\sigma(X)^2 = p(1-p)\), ce qui mène à une équation du second degré en \(p\) à résoudre. La condition \(p < 0.5\) permet de choisir la bonne solution.
• Question 4 : Un problème classique de probabilités conditionnelles utilisant un arbre.
  • a. Il faut savoir traduire l'énoncé pour construire un arbre pondéré.
  • b. Le calcul de \(P(L)\) se fait en appliquant la formule des probabilités totales, en additionnant les probabilités des branches menant à l'événement L.
  • c. La dernière question demande d'inverser le conditionnement (\(P_L(J)\)), ce qui est une application directe de la formule des probabilités conditionnelles (ou du théorème de Bayes).
• Question 5 : Application directe des formules de la loi géométrique. Il s'agit de calculer \(P(X=k)\), \(P(X \le k)\) et \(P(X > k)\), ainsi que l'espérance \(E(X)\). Un bon exercice pour vérifier la connaissance des formules \(P(X=k) = (1-p)^{k-1}p\), \(P(X>k)=(1-p)^k\) et \(E(X)=\frac{1}{p}\).

Exercice 3 : Problème de la crue décennale

Ce problème est une mise en situation concrète qui se modélise entièrement avec une loi géométrique. C'est un excellent exemple de l'application de cette loi pour modéliser le temps d'attente du premier succès.

• Question 1 : On justifie l'utilisation de la loi géométrique en identifiant la répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, et le fait que la variable \(X\) compte le rang du premier succès. Le paramètre \(p\) est la probabilité de succès, soit 0.1.
• Question 2 et 3 : Calculs de probabilités directes \(P(X=1)\), \(P(X=2)\) et \(P(X>10)\). L'interprétation de \(P(X>10)\) est importante : c'est la probabilité qu'aucune crue n'ait lieu pendant les 10 premières années.
• Question 4 : Cette question teste la compréhension de la propriété de non-vieillissement (ou d'absence de mémoire) de la loi géométrique. La probabilité d'attendre encore 10 ans sans crue, sachant qu'il n'y en a pas eu pendant 5 ans, est la même que la probabilité d'attendre 10 ans sans crue dès le départ, soit \(P(X>10)\).
• Question 5 : Le calcul de l'espérance \(E(X) = \frac{1}{p} = \frac{1}{0.1} = 10\) permet de comprendre l'appellation "crue décennale" : en moyenne, cet événement se produit tous les 10 ans.