Ce document est un sujet de contrôle de mathématiques pour le niveau Terminale, option maths complémentaires, centré sur le chapitre des lois de probabilités discrètes. D'une durée indicative de 1h30, ce sujet est une excellente ressource pour s'entraîner et valider ses connaissances sur la loi binomiale et la loi géométrique. Il est composé de quatre exercices variés qui balayent les compétences essentielles du chapitre, de la justification des modèles à leur application dans des contextes concrets, en passant par le calcul de probabilités, d'espérance et de variance. La calculatrice est autorisée et son utilisation est indispensable pour certains calculs.

Exercice 1 : Vrai ou Faux

Cet exercice d'introduction teste la compréhension fondamentale des définitions et propriétés des lois discrètes. Il demande de la rigueur dans la justification.

• La première question évalue un point crucial : la distinction entre un tirage avec remise et sans remise. Elle interroge sur la validité du modèle binomial dans le cas d'un tirage sans remise, un piège classique qui met à l'épreuve la connaissance des conditions d'application d'une loi binomiale (indépendance des épreuves).
• La deuxième question porte sur le calcul de probabilités pour une variable aléatoire \(X\) suivant une loi binomiale \(B(20; 0,3)\). Il s'agit de calculer \(P(X > 1)\). Cette question nécessite l'utilisation de l'événement contraire, à savoir \(P(X > 1) = 1 - P(X \leq 1) = 1 - (P(X=0) + P(X=1))\), et de vérifier si l'affirmation \(1 - 0,7^{20}\) est correcte.
• La troisième question aborde la loi géométrique. Pour une variable \(X\) suivant une loi géométrique de paramètre \(p=0,25\), il faut calculer la probabilité cumulative \(P(X \leq 2)\) et la comparer à la valeur proposée. Cela implique de savoir calculer \(P(X=1)\) et \(P(X=2)\).

Exercice 2 : Calculatrice en main

Cet exercice est une application directe des fonctionnalités de la calculatrice pour une variable aléatoire \(X\) suivant une loi binomiale \(B(25; 0,2)\). L'objectif est de maîtriser les calculs de probabilités courants.

• Calcul de probabilité ponctuelle : \(P(X = 4)\).
• Calcul de probabilité cumulative : \(P(X \leq 5)\).
• Calcul de probabilité avec l'événement contraire : \(P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2)\).
• Calcul et interprétation des indicateurs clés : l'espérance \(E(X) = np\) et l'écart type \(\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}\). La question sur l'interprétation de l'espérance est essentielle pour donner du sens à cette valeur dans le contexte d'un schéma de Bernoulli (nombre moyen de succès).

Exercice 3 : Collecte de sang

Cet exercice est un problème complet qui modélise une situation réelle, celle d'une collecte de sang, à l'aide de la loi binomiale. Il est divisé en deux parties.

• Partie A : On considère une collecte de 50 donneurs et on s'intéresse au nombre \(X\) de donneurs du groupe O négatif, sachant que la proportion dans la population est de 6%. La première question est fondamentale : il faut justifier que \(X\) suit une loi binomiale et en préciser les paramètres \(n=50\) et \(p=0,06\). Les questions suivantes sont des applications classiques : calcul de \(P(X=3)\), de \(P(X \geq 2)\), et calcul et interprétation de l'espérance \(E(X)\).
• Partie B : Cette partie introduit une démarche de prise de décision statistique. Face à un résultat observé (8 donneurs sur 50), on calcule la probabilité d'observer un résultat au moins aussi "extrême" (\(P(X \geq 8)\)) en supposant que le modèle initial est correct. Le résultat de ce calcul permet d'argumenter sur la validité du modèle et de la proportion initiale de 6% dans le contexte particulier du village.

Exercice 4 : L'archère et le premier succès

Ce dernier exercice met en scène un autre modèle de probabilité discret fondamental : la loi géométrique, qui modélise le rang du premier succès dans une succession d'épreuves de Bernoulli indépendantes.

• Il faut d'abord justifier que la variable aléatoire \(X\), représentant le rang du premier tir réussi par une archère, suit bien une loi géométrique de paramètre \(p=0,3\).
• Les calculs de probabilités incluent le calcul de \(P(X=4)\) et la justification de la formule de la probabilité de survie \(P(X > n) = (1-p)^n\).
• Une question importante est celle de la recherche du nombre minimal d'essais pour que la probabilité d'un événement (ici, réussir au moins une fois) dépasse un certain seuil (0,99). Cela se traduit par la résolution de l'inéquation \(P(X \leq n) > 0,99\).
• La dernière question aborde implicitement la propriété de non-vieillissement (ou d'absence de mémoire) de la loi géométrique, en demandant une probabilité conditionnelle.

En somme, ce sujet de maths sur les lois discrètes est un excellent outil de révision pour les élèves de Terminale Maths Complémentaires, couvrant l'essentiel des compétences attendues pour l'examen.