Contrôle Corrigé sur la Dérivation et les Études de Fonctions - Terminale Maths Complémentaires

Ce sujet de contrôle pour la classe de Terminale en spécialité Maths Complémentaires est un excellent entraînement sur les chapitres de la dérivation et des études de fonctions. Il se compose de deux exercices complets qui balayent les compétences essentielles : le calcul de dérivées de fonctions variées (exponentielles, puissances, produits), la détermination d'une équation de tangente, et la résolution d'un problème d'optimisation concret. Ce corrigé détaillé vous permettra de vérifier vos connaissances et de vous préparer efficacement à vos évaluations.

Exercice 1 : Maîtrise des techniques de dérivation (7,5 points)

Cet exercice vise à évaluer la maîtrise des formules et des règles de dérivation sur des fonctions usuelles et composées, un savoir-faire fondamental en analyse de fonction.

• Question 1.a) : Il s'agit de dériver la fonction \(f(x) = e^{3x-1}\). Cette question teste la dérivation d'une fonction de type exponentielle composée, \(e^u\), dont la dérivée est \(u'e^u\). Un calcul rapide mène à \(f'(x) = 3e^{3x-1}\).
• Question 1.b) : On demande la dérivée de \(g(x) = (x^2 - 4x)^2\). Cela fait appel à la formule de dérivation d'une fonction puissance, de la forme \(u^n\), dont la dérivée est \(nu'u^{n-1}\). L'application de cette règle est directe et requiert ensuite une factorisation pour obtenir le résultat sous la forme la plus simple.
• Question 1.c) : La fonction à dériver est \(h(x) = xe^{-2x}\). Cette question évalue la capacité à dériver une fonction produit, de la forme \(uv\), dont la dérivée est \(u'v + uv'\). De plus, le second facteur, \(e^{-2x}\), est lui-même une fonction exponentielle composée.
• Question 2) : Cette question classique demande de déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction \(f\) au point d'abscisse \(a = \frac{1}{3}\). Il faut ici appliquer la formule : \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\). Cela nécessite de calculer l'image de \(\frac{1}{3}\) par la fonction \(f\) et par sa dérivée \(f'\), puis de substituer ces valeurs dans la formule.

Exercice 2 : Problème d'optimisation - Étude de fonction complète (12,5 points)

Cet exercice est un problème concret d'optimisation d'aire, un grand classique des études de fonctions. Il s'agit de trouver les dimensions optimales d'une boîte de conserve cylindrique pour minimiser la quantité de métal utilisée, c'est-à-dire son aire totale, tout en conservant un volume fixe.

• Question 1 et 2) : Les premières étapes consistent à modéliser le problème. À partir du volume imposé \(V = 250\pi\) cm³ et de la formule du volume d'un cylindre \(V = \pi r^2 h\), on exprime la hauteur \(h\) en fonction du rayon \(r\). Ensuite, on utilise cette relation pour exprimer l'aire totale de la boîte comme une fonction du seul rayon \(r\). On obtient ainsi la fonction à étudier : \(A(r) = 2\pi r^2 + \frac{500\pi}{r}\) sur l'intervalle `[1; 10]`.
• Question 3) : Une question de calcul simple pour se familiariser avec la fonction en complétant un tableau de valeurs.
• Question 4) : C'est le cœur de l'étude : le calcul de la fonction dérivée \(A'(r)\). Pour dériver \(A(r)\), il faut connaître la dérivée des fonctions puissances, y compris celle de la fonction inverse (\(\frac{1}{r}\)), dont la dérivée est \(-\frac{1}{r^2}\). Après dérivation, un travail de mise au même dénominateur et de factorisation est nécessaire pour aboutir à la forme demandée : \(A'(r) = \frac{4\pi (r^3 - 125)}{r^2}\).
• Question 5) : L'étape suivante est l'étude du signe de la dérivée pour en déduire les variations de la fonction \(A\). Le signe de \(A'(r)\) sur l'intervalle d'étude ne dépend que du signe de l'expression \(r^3 - 125\). La résolution de l'équation \(r^3 - 125 = 0\) donne la valeur charnière qui annule la dérivée. On peut alors construire le tableau de variations complet de la fonction \(A\).
• Question 6) : La dernière question est l'interprétation du tableau de variations pour résoudre le problème. On identifie la valeur de \(r\) qui correspond au minimum de la fonction \(A\). Cette valeur est l'abscisse de l'extremum trouvé. On en déduit alors la hauteur \(h\) correspondante et on compare le résultat au diamètre \(2r\) de la boîte optimale.

En résumé, ce contrôle de maths est très complet et couvre des compétences clés d'analyse de fonctions, allant des calculs techniques de dérivation à la résolution d'un problème d'optimisation via une étude de fonction. C'est un sujet type pour le niveau Terminale Maths Complémentaires.